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${\begin{aligned}\int {\frac {zd\alpha '}{z^{2}+\alpha ^{'2}}}&=arc\left(tang.={\frac {\alpha '}{z}}\right)=\pi ,\\\int {\frac {d\gamma }{\left(1+\gamma ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {\gamma }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}=2\,;\end{aligned}}$

on aura donc finalement

$z'=f(x,y)\,;$

ce qu’il s’agissait en effet de vérifier.

(34) Reprenons maintenant l’équation (a), et développons son second membre suivant les puissances de $t.$

Nous avons

${\sqrt {u}}.sin.t{\sqrt {gu}}=ut{\sqrt {g}}-{\frac {u^{2}\left(t{\sqrt {g}}\right)^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{3}\left(t{\sqrt {g}}\right)^{5}}{2.3.4.5}}-{\text{etc}}.;$

en convenant donc de représenter par $\mathrm {Z} ,$ la même intégrale double que dans le numéro précédent, on aura généralement

$\iint e^{-uz}cos.(u\rho .cos.\omega ).u^{n}\,du\,d\omega =(-1)^{n}{\frac {d^{n}\mathrm {Z} }{dz^{n}}}\,;$

et l’équation (a) deviendra

${\begin{aligned}\varphi =-{\frac {gt}{\pi ^{2}}}\iint &\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+{\frac {gt^{2}}{2.3}}.{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}}+{\frac {g^{2}t^{4}}{2.3.4.5}}.{\frac {d^{3}\mathrm {Z} }{dz^{3}}}\right.\\&\qquad \quad +\left.{\frac {g^{3}t^{6}}{2.3.4.5.6.7}}.{\frac {d^{4}\mathrm {Z} }{dz^{4}}}+{\text{etc}}.\right)f(\alpha ,\beta )d\alpha \,d\beta .\end{aligned}}$

On y devra substituer pour $\mathrm {Z} ,$ sa valeur, savoir :

$\mathrm {Z} ={\frac {\pi }{2{\sqrt {z^{2}+r^{2}}}}}\,;$

d’après laquelle on voit que la série comprise entre les pa-