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or, $gt^{2}$ étant supposé très-grand par rapport à $\rho ,$ on peut réduire à son premier terme la série comprise entre les parenthèses ; d’ailleurs, entre les limites données (n^o 37), on a

$\iiint \left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\omega \,d\psi ={\frac {\pi ^{2}}{4}}\,;$

la valeur de $z'$ deviendra donc

$z'=-{\frac {hll'}{2\pi {\sqrt {2g\pi }}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iiint \left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .\cos .\omega }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho .\cos .\omega }}\right)$

${\frac {\left(1-s^{2}\right)t\,s\,ds\,d\omega \,d\psi }{\rho ^{\frac {3}{2}}.cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}+{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.$

On effectuera l’intégration relative à $\omega ,$ dont les limites sont $\omega =0,$ et $\omega ={\frac {\pi }{2}},$ en faisant

${\frac {1}{cos.\omega }}=1+x^{2}\,;$

l’intégrale relative à $x$ devra être prise depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {1}{0}},$ et l’on aura

${\frac {d\omega }{(cos.\omega )^{\frac {3}{2}}}}=2dx{\sqrt {\frac {1+x^{2}}{2+x^{2}}}}={\sqrt {2}}dx+x\mathrm {X} dx\,;$

où l'on a fait, pour abréger,

${\frac {2x}{\left(2{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {2+x^{2}}}\right){\sqrt {2+x^{2}}}}}=\mathrm {X} \,;$

il en résultera donc

$\int cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .\cos .\omega }}.{\frac {d\omega }{\cos ^{\frac {3}{2}}.\omega }}={\sqrt {2}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.dx$

$+\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.x\mathrm {X} \,dx.$