Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/338

Par les formules connues, on a

$\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.dx=\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}-sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}\right).{\sqrt {\frac {\pi \,\rho }{2gt^{2}}}}\,;$

en intégrant par parties, il vient

${\begin{aligned}\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.x\mathrm {X} dx&={\frac {2\rho \mathrm {X} }{gt^{2}}}.sin.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}\\&-{\frac {2\rho }{gt^{2}}}.\int sin.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx\,;\end{aligned}}$

mais aux deux limites $x=0$ et $x={\frac {1}{0}},$ on a $\mathrm {X} =0,$ ce qui fait disparaître le terme en dehors du signe intégral ; d’ailleurs la valeur ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ est aussi de cette forme :

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}+x\mathrm {X} '\,;$

$\mathrm {X} '$ étant, ainsi que $\mathrm {X} ,$ une quantité qui devient nulle quand $x=0,$ et quand $x={\frac {1}{0}}\,:$ on aura donc aussi

${\begin{aligned}\int sin.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx=&{\frac {1}{4}}\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}\right){\sqrt {\frac {\pi \,\rho }{gt^{2}}}}\\&+{\frac {2\rho }{gt^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.{\frac {d\mathrm {X} '}{dx}}dx\,;\end{aligned}}$

et l’on pourra continuer de la même manière indéfiniment. Il est évident que l’intégrale relative à $\omega$ se trouvera, par cette suite d’opérations, développée suivant les puissances impaires du rapport ${\sqrt {\frac {\rho }{gt^{2}}}},$ qu’on suppose très-petit ; nous ne conserverons que le premier terme de cette série, et nous