Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/357

(49) Pour effectuer cette réduction, je développe d’abord $cos.(ks.cos.\psi )$ suivant les puissances de $k\,;$ je fais ensuite généralement

$\int cos^{2n}\psi .d\psi =\mathrm {A} _{n},\qquad \int \left(1-s^{2}\right)s^{2n+1}ds=\mathrm {B} _{n},$

j’ai, de cette manière,

$\mathrm {P} '=(\mathrm {B} _{0}+m\mathrm {B} _{1})\mathrm {A} _{0}-(\mathrm {B} _{1}+m\mathrm {B} _{3})\mathrm {A} _{1}.{\frac {k^{2}}{1.2}}$

$+(\mathrm {B} _{2}+m\mathrm {B} _{3})\mathrm {A} _{2}.{\frac {k^{4}}{1.2.3.4}}-{\text{etc.}}$

Or, en intégrant par parties, et ayant égard aux limites relatives à $\psi$ et à $s,$ on trouve

$\mathrm {A} _{n}={\frac {2n-1}{2n}}.\mathrm {A} _{n-1},\qquad \mathrm {B} _{n}={\frac {n}{n+2}}.\mathrm {B} _{n-1}\,;$

on a d’ailleurs

$\mathrm {A} _{0}={\frac {\pi }{2}},\qquad \mathrm {B} _{0}=\int \left(1-s^{2}\right)s\,ds={\frac {1}{4}}\,;$

d’où l’on conclut pour $\mathrm {P} ',$ une série dont le terme général est

$\pm {\frac {\pi }{4}}\left({\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {m}{(n+2)(n+3)}}\right){\frac {k^{2n}}{(2.4.6\ldots 2v)^{2}}}.$

En la substituant dans l’équation $(k)$ et faisant ${\frac {k^{2}}{4}}=p,$ cette équation devient

${\frac {3}{2}}-{\frac {7p}{2.3}}+{\frac {11p^{2}}{(1.2)^{2}.3.4}}-{\frac {15p^{3}}{(1.2.3)^{2}.4.5}}+{\frac {19p^{4}}{(1.2.3.4)^{2}.5.6}}-{\text{etc.}}$

$+m\left(+{\frac {3}{2.3}}-{\frac {7p}{3.4}}+{\frac {11p^{2}}{(1.2)^{2}.4.5}}-{\frac {15p^{3}}{(1.2.3)^{2}.5.6}}+{\frac {19p^{4}}{(1.2.3.4)^{2}.6.7}}-{\text{etc.}}\right)=0.$