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Maintenant on s’assurera aisément qu’en partant de cette expression de la fonction $f(\alpha ,\beta ),$ et par une suite de réductions semblables à celles qui nous ont conduits à l’équation $(f)$ du n^o 41, on obtiendra, au lieu de cette équation, cette autre expression de l’ordonnée $z'$ de la surface à un instant quelconque :

$z'={\frac {2{\sqrt {2}}hlk}{\pi \,r}}.cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}.\iint cos.(ks.cos.\psi )\left(1-s^{2}\right)\left(1+ms^{2}\right)s\,ds\,d\psi \,;$

l’intégrale étant prise depuis $s=0,$ jusqu’à $s=1,$ et depuis $\psi =0,$ jusqu’à $\psi ={\frac {\pi }{2}}\,;$ et en faisant toujours

${\frac {gt^{2}l}{4r^{2}}}=k.$

On en déduira les mêmes conséquences que plus haut relativement aux oscillations verticales des molécules superficielles ; et si l’on fait

$\iint cos.(ks.cos.\psi )\left(1-s^{2}\right)\left(1+ms^{2}\right)s\,ds\,d\psi =\mathrm {P} ',$

les valeurs de $k$ qui répondent aux maxima, par rapport à $r,$ des amplitudes des oscillations, seront données par l’équation

$3\mathrm {P} '+2k{\frac {d\mathrm {P} '}{dk}}=0,\qquad (k)$

qui remplacera l’équation $(h)$ du n^o 44.

Il serait facile de ramener $\mathrm {P} '$ à une intégrale simple ; mais on peut aussi-bien, sans cela, réduire cette quantité en série ordonnée suivant les puissances de $k\,;$ ce qui suffit pour déterminer par approximation les racines de l’équation $(k).$