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$a$ et $a'$ étant des constantes positives, qui exprimeront les vitesses de propagation du mouvement dans le premier et dans le second fluide. Nous supposerons qu’on a $a>a',$ en sorte que le fluide supérieur est celui pour lequel la vitesse de propagation est la plus grande. Dans le cas de $a=a',$ les deux fluides n’en forment plus qu’un seul, du moins quant aux lois de leur mouvement. Dans le cas général, leurs dilatations seront représentées par ${\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d\varphi }{dt}}$ et ${\frac {1}{a'^{2}}}{\frac {d\varphi '}{dt}},$ c’est-à-dire que si l’on suppose qu’au point $\mathrm {M}$ et au bout du temps $t,$ la densité du fluide soit à sa densité naturelle comme $1-s$ est à l’unité, pour le fluide supérieur, et comme $1-s'$ est à l’unité, pour le fluide inférieur, on aura

$s={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d\varphi }{dt}},\qquad s'={\frac {1}{a'^{2}}}{\frac {d\varphi '}{dt}}.$

Appelons $h$ la hauteur du point $\mathrm {O}$ au-dessus du plan de contact des deux fluides, de sorte qu’on ait $x=h$ pour tous les points de ce plan, avant que le mouvement ait commencé. En tous ses points, la vitesse verticale sera constamment la même pour les deux fluides ; on aura donc

${\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {d\varphi '}{dx}},$

pour $x=h$ et quel que soit $t.$ Les forces élastiques des deux fluides y seront aussi égales pendant toute la durée du mouvement ; car si l’on considère une portion $m$ de matière, qui s’étende dans chaque fluide jusqu’à une distance insensible de leur plan de contact, cette petite masse sera poussée verticalement par la différence de leurs forces élastiques : elle prendrait donc une vitesse extrêmement grande, si cette dif-