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formules (11) et (14); on fera, en outre,

${\begin{aligned}\lambda \;=&a{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}},\\\alpha '=&{\frac {1}{a'}}{\sqrt {a^{2}\alpha ^{2}+\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)}}\,;\end{aligned}}$

et, pour fixer les idées, on regardera ces quantités comme positives.

(7) Relativement aux valeurs de la forme $\alpha =\alpha _{1}{\sqrt {-1}},$ et en supposant toujours $k=\infty ,$ on aura

$\sin .k\alpha =-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}e^{k\alpha _{1}},\qquad \cos .k\alpha ={\frac {1}{2}}e^{k\alpha _{1}},$

en désignant par $e$ la base des logarithmes népériens. L’équation (7) deviendra donc

$a'^{2}\alpha '\sin .l\alpha '-a^{2}\alpha _{1}\cos .l\alpha '=0.$

(16)

On aura en même temps

${\begin{aligned}\mathrm {U} =&{\frac {1}{2}}\cos .l\alpha 'e^{\alpha _{1}(x-h)}e^{k\alpha _{1}},\\\mathrm {V} =&{\frac {1}{2}}\cos .\alpha '(x-l-h)e^{k\alpha _{1}},\\\Delta =&\left({\frac {2l\alpha '+\sin .2l\alpha '}{16\alpha '}}+{\frac {\cos .^{2}l\alpha '}{8\alpha _{1}}}\right)e^{2k\alpha _{1}}.\end{aligned}}$

L’exponentielle $e^{2k\alpha _{1}}$ disparaîtra des formules (13), après la substitution des valeurs de $\mathrm {E,F,U,V} ,\Delta \,;$ et si nous faisons

$\mathrm {E=E} _{1}e^{k\alpha _{1}},\quad \mathrm {F=F} _{1}e^{k\alpha _{1}},\quad \mathrm {U=U} _{1}e^{k\alpha _{1}},\quad \mathrm {V=V} _{1}e^{k\alpha _{1}},\quad \Delta =\Delta _{1}e^{k\alpha _{1}},$

ces formules deviendront

$\left.{\begin{aligned}u=&a^{2}\sum (\mathrm {E} _{1}\cos .\lambda t+\mathrm {F} _{1}\sin .\lambda t){\frac {\mathrm {U} _{1}}{\Delta _{1}}},\\v=&a'^{2}\sum (\mathrm {E} _{1}\cos .\lambda t+\mathrm {F} _{1}\sin .\lambda t){\frac {\mathrm {V} _{1}}{\Delta _{1}}}\,;\end{aligned}}\right\}$

(17)