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les sommes $\sum$ s’étendant à toutes les valeurs réelles et positives de $\alpha _{1},$ qui seront données par l’équation (16), et les valeurs de $\lambda$ et $\alpha '$ étant

${\begin{aligned}\lambda \;=&a{\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha _{1}^{2}}},\\\alpha '=&{\frac {1}{a'}}{\sqrt {\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)-a^{2}\alpha _{1}^{2}}}.\end{aligned}}$

En ajoutant les formules (15) et (17), on aura les expressions complètes de $u$ et $v,$ qui répondent au cas où la hauteur du fluide supérieur est infinie ; le fluide inférieur ayant encore une hauteur quelconque $l.$ Chacune de ces expressions se trouvera ainsi composée d’une somme $\sum$ et d’une intégrale, qui ne contiendront, l’une et l’autre, que des quantités réelles.

(8) Passons actuellement au cas où la hauteur $l$ du fluide inférieur est aussi infinie.

Si l’on substitue dans les formules (15), à la place de $\mathrm {E,F,U,V} ,$ leurs valeurs résultantes des équations (11) et (14), le facteur $\cos .^{2}l\alpha '$ disparaîtra au dénominateur qui se réduira à $\mathrm {H} ^{2}.$ Or, on aura

${\begin{aligned}2\mathrm {H} ^{2}=\left(a^{2}\alpha -a'^{2}\alpha '\right)^{2}&+2\left(a^{2}\alpha -a'^{2}\alpha \right)\left(a^{2}\alpha +a'^{2}\alpha '\right)\cos .2l\alpha '\\&+\left(a^{2}\alpha +a'^{2}\alpha '\right)^{2}\,;\end{aligned}}$

les quantités $\alpha$ et $\alpha '$ étant réelles et positives, la fraction

${\frac {a^{2}\alpha -a'^{2}\alpha '}{\alpha ^{2}\alpha +a'^{2}}}$

sera toujours plus petite que l’unité ; par conséquent on obtiendra une série convergente en développant $\mathrm {H} ^{-2}$ suivant les puissances de cette fraction. D’ailleurs, ce développement sera de la forme :

$\mathrm {H^{-2}=A_{0}+A} _{1}\cos .2l\alpha '+\mathrm {A} ^{2}\cos .4l\alpha '+{\text{etc}}.;$