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tives, on peut supposer qu’on ait $f(-r')=fr'.$ On aura, en même temps, ${\frac {df(-r')}{dr'}}=-{\frac {dfr'}{dr'}}\,;$ et si l’on fait

${\frac {d.r'fr'}{dr'}}=\psi r',$

on aura aussi $\psi (-r')=\psi r',$ et l’équation précédente prendra la forme :

$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-g\rho }\rho r'\sin .\rho r'\cos .\rho \varpi fr'dr'd\rho ={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g\psi r'dr'}{g^{2}+(r'-\varpi )^{2}}}.$

À cause que la constante $g$ est infiniment petite, cette dernière intégrale s’évanouira pour toutes les valeurs de $r'$ qui ne rendront pas aussi infiniment petit, le dénominateur sous le signe $\int .$ En faisant donc

$r'=\varpi +u,\qquad dr'=du,$

on pourra considérer la nouvelle variable $u$ comme infiniment petite, positive ou négative ; et quelles que soient les limites relatives à $r',$ nous aurons simplement

$\int {\frac {g\psi r'dr'}{g^{2}+(r'-\varpi )^{2}}}=\psi \varpi \int {\frac {gdu}{g^{2}+u^{2}}}=\pi \psi \varpi ,$

en intégrant entre deux limites arbitraires, l’une positive et l’autre négative, et faisant, après l’intégration, $g=0$ ou seulement $g$ infiniment petit par rapport à ces limites. Il en résultera donc

$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-g\rho }\rho r'\sin .\rho r'\cos .\rho \varpi fr'dr'd\rho ={\frac {\pi }{2}}\psi \varpi \,;$

ce qui fait connaître l’intégrale relative $\rho$ et $r'$ que renferme