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la première équation (d): en y mettant $\varpi '$ au lieu de $\varpi ,$ on aura la valeur de celle qui est contenue dans la seconde équation (d); et, de cette manière, ces deux équations deviendront.

$\left.{\begin{aligned}\Pi \ =&{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left(a^{2}\cos .\theta -a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}\right)\sin .\theta }{a^{2}\cos .\theta +a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}}}\psi \varpi \,d\theta \,d\omega ,\\\Pi '=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {a'^{2}\cos .\theta \sin .\theta }{a^{2}\cos .\theta +a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}}}\psi \varpi '\,d\theta \,d\omega .\end{aligned}}\right\}$

(e)

Ainsi les quantités $\Pi$ et $\Pi '$ qui étaient d’abord exprimées par des intégrales sextuples, le sont maintenant par des intégrales doubles. On ne peut pas les simplifier davantage, si ce n’est dans le cas où le point $\mathrm {M}$ auquel elles répondent est très-éloigné du centre de l’ébranlement primitif. C’est ce que nous allons faire, en commençant par l’expression de $\Pi ,$ relative au fluide supérieur.

(13) Transportons l’origine des coordonnées en un point $\mathrm {O} '$ du fluide inférieur, situé à une distance $h$ au-dessous de la surface de séparation des deux fluides, et sur la même verticale que le point $\mathrm {O} .$ Soit $r'$ le rayon vecteur $\mathrm {O'M}$ du point $\mathrm {M}$ appartenant au fluide supérieur. Désignons par $u$ l’angle compris entre $\mathrm {O'M}$ et la verticale passant par le point $\mathrm {O} '$ et dirigée en sens contraire de la pesanteur, et par $v$ l’angle que fait le plan de ces deux droites avec le plan vertical des $x$ et $z\,;$ nous aurons

$2h-x=r'\cos .u,\qquad y=r'\sin .u\sin .v,\qquad z=r'\sin .u\cos .v,$

et, par conséquent,

$\varpi =r'\left(\cos .\theta .\cos .u+\sin .\theta \sin .u\cos .(\omega -v)\right)\pm at.$