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$\omega '=2\pi \,:$ et comme $\theta '=\mu$ répond à $\theta ={\frac {1}{2}}\pi ,$ on aura

$\cos .\mu =\sin .u\cos .(\omega -v),$

pour déterminer la limite $\mu .$

Cela posé, la première équation (e) deviendra

$\Pi ={\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\mu }\Theta \psi (r'\cos .\theta '\pm at)\sin .\theta 'd\theta '\right)d\omega ',$

(f)

en faisant, pour abréger,

${\frac {a^{2}\cos .\theta -a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}}{a^{2}\cos .\theta +a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}}}=\Theta ,$

et considérant $\Theta$ comme une fonction de $\theta '$ et $\omega '.$ Pour $\theta '=0,$ on aura $\cos .\theta =\cos .u$ et $\Theta =\mathrm {U} ,$ en désignant par $\mathrm {U}$ ce que devient $\Theta$ quand on y met $u$ au lieu de $\theta \,;$ pour $\theta '=\mu ,$ qui répond à $\theta ={\frac {1}{2}}\pi ,$ on aura $\Theta =-1\,;$ si donc on intègre par partie, et si l’on observe que $\psi \,r'={\frac {d.r'fr'}{dr'}},$ il en résultera

$\int _{0}^{\mu }\Theta \psi (r'\cos .\theta '\pm at)\sin .\theta 'd\theta '={\frac {\mathrm {U} }{r'}}(r'\pm at)f(r'\pm at)$

$+{\frac {1}{r'}}(r'\cos .\mu \pm at)f(r'\cos .\mu \pm at)$

$+{\frac {1}{r'}}\int _{0}^{\mu }(r'\cos .\theta '\pm at)f(r'\cos .\theta '\pm at){\frac {d\Theta }{d\theta '}}d\theta '.$

Je représenterai par $\varepsilon$ le rayon de l’ébranlement primitif autour du point $\mathrm {O} ,$ de sorte que la fonction $f$ soit nulle pour toutes les valeurs de la variable, positives et $>\varepsilon .$ Comme on a supposé qu’elle restait la même, lorsque la variable change de signe, elle sera aussi nulle pour toutes les valeurs de la va-