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${\begin{aligned}\Pi =&{\frac {a^{2}\cos .u-a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}}{2r'(a^{2}\cos .u+a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}}}\\&\qquad \qquad \qquad \times \left[(r'+at)f(r'+at)+(r'-at)f(r'-at)\right],\end{aligned}}$

(g)

en remettant pour $\mathrm {U}$ sa váleur et ayant égard au double signe de $at.$ On se rappellera que l’expression complète de $\Pi ,$ doit comprendre une autre partie correspondante à la fonction $\operatorname {F}$ et qui se déduira de la précédente, comme il a été dit plus haut

(14) Pour réduire de mème la seconde formule (e), je fais

$h=r_{1}\cos .u,\qquad y=r_{1}\sin .u\sin .v,\qquad z=r_{1}\sin ,u\cos .v\,;$

c’est-à-dire, que je désigne par $r_{1}$ le rayon vecteur du point de la surface de séparation des deux fluides, dont $y$ et $z$ sont les coordonnées horizontales ; par $u,$ l’angle que ce rayon fait avec la verticale abaissée du point $\mathrm {O} ,$ et par $v,$ l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des $x$ et $z.$ Il en résultera

$\varpi '={\frac {x-h}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}$

$+r_{1}\left(\cos .\theta \cos .u+\sin .\theta \sin .u\cos .(\omega -v)\right)\pm at\,;$

et par moyen d’une transformation semblable à celle qui a donné l’équation (f), on changera la seconde équation (e), en celle-ci :

$\Pi '={\frac {1}{2\pi }}\times$

$\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \left({\frac {x-h}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}+r_{1}\cos .\theta '\pm at\right)\sin .\theta 'd\theta '\right)d\omega ',$

où l’on a fait, pour abréger,

${\frac {a'^{2}\cos .\theta }{a^{2}\cos .\theta +a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}}}=\Theta ',$