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et désigné par $\mu$ la valeur de $\theta '$ qui répond à $\theta ={\frac {1}{2}}\pi .$

Si l’on remet $\varpi '$ à la place de sa valeur sous la fonction $\psi ,$ et si l’on observe qu’on a

$\sin .\theta 'dt'=-{\frac {1}{r_{1}}}{\frac {d\varpi '}{d\theta '}}-{\frac {x-h}{a'r_{1}}}{\frac {d.{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}}{d\theta '}}d\theta ',$

il en résultera

$\int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '\sin .\theta 'd\theta '=-{\frac {1}{r_{1}}}\int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '{\frac {d\varpi '}{d\theta '}}d\theta '$

$-{\frac {x-h}{a'r_{1}}}\int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '{\frac {d.{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}}{d\theta '}}d\theta '.$

Nous supposerons que $r_{1}$ est très-grand, nou-seulement à l’égard du rayon $\varepsilon$ de l’ébranlement primitif, mais encore par rapport à la distance $x-h$ du point $\mathrm {M}$ au-dessous de la surface de séparation des deux fluides ; nous négligerons, en conséquence, le second terme de la formule précédente à raison de son facteur ${\frac {x-h}{r_{1}}}\,;$ et, à cause de $\psi \,\varpi '={\frac {d.\varpi 'f\varpi '}{d\varpi '}},$ nous aurons

$\int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '\sin .\theta 'd\theta '=-{\frac {1}{r_{1}}}\int _{0}^{\mu }\Theta '{\frac {d.\varpi 'f\varpi '}{d\theta '}}d\theta '.$

À la limite $\theta '=\mu ,$ ou $\theta ={\frac {1}{2}}\pi ,$ on a $\Theta '=0\,;$ si donc on désigne par $\mathrm {U} '$ la valeur de $\Theta '$ qui répond à $\theta '=0$ et pour laquelle on a $\cos .\theta =\cos .u\,;$ si l’on fait, en outre,

$u'={\frac {x-h}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}+r_{1}\pm at,$

et que l’on intègre par partie, on aura

$\int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '\sin .\theta 'd\theta '={\frac {1}{r_{1}}}\mathrm {U} 'u'fu'+{\frac {1}{r_{1}}}\int _{0}^{\mu }\varpi 'f\varpi '{\frac {d.\Theta '}{d\theta '}}d\theta ',$