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Il en résulte que si l’ou transforme $\alpha ',\beta ,\gamma ,$ en coordonnées polaires, et qu’on fasse pour cela

$\alpha '=\rho \sin .\theta ,\qquad \beta =\rho \cos .\theta \sin .\omega ,\qquad \gamma =\rho \cos .\theta \cos .\omega ,$

les intégrales relatives à $\rho ,\theta ,\omega$ devront s’étendre depuis $\rho =0,$ $\theta =0,$ $\omega =0$ jusqu’à $p=\infty ,$ $\theta =c,$ $\omega =2\pi .$ On aura, en même temps,

$d\alpha 'd\beta \,d\gamma =\rho \cos .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,;$

on aura, de plus,

$\lambda =a'^{2}\rho ,\qquad {\sqrt {\delta ^{2}-\alpha '^{2}}}=\rho \,\delta '\cos .\theta ,$

en faisant, pour abréger,

$\delta '={\sqrt {\operatorname {tang} .^{2}c-\operatorname {tang} .^{2}\theta }}\,;$

et si l’on fait aussi

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&\iiint \!\!\!\iiint fr'e^{{\frac {a'}{a}}(x'+x-2h)\rho \,\delta '\cos .\theta }\cos .\rho \left((y'-y)\cos .\theta .\sin .\omega \right.\\&+(z'-z)\cos .\theta \cos .\omega \pm a't){\frac {a'^{2}\sin .^{2}\theta \cos .\theta }{a^{2}\cos .^{2}\theta -a'^{2}\sin .^{2}\theta }}d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz'\\\mathrm {T} '=&\iiint \!\!\!\iiint fr'e^{{\frac {a'}{a}}(x'-h)\rho \,\delta '\cos .\theta }\left[a'\sin .\theta \cos .\rho \left((y'-y)\cos .\theta .\sin .\omega \right.\right.\\&\left.+(z'-z)\cos .\theta \cos .\omega +(x-h)\sin .\theta \pm a't\right)\\&+a\delta '\cos .\theta \sin .\rho \left((y'-y)\cos .\theta \sin .\omega +(z'-z)\cos .\theta \cos .\omega \right.\\&\left.\left.+(x-h)\sin .\theta \pm a't\right)\right]{\frac {a'\sin .\theta \cos .\theta }{a^{2}\cos .^{2}\theta -a'^{2}\sin .^{2}\theta }}d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz',\end{aligned}}$

les équations (c) pourront être remplacées par celles-ci :

$\Omega ={\frac {1}{4\pi ^{3}\left(a'^{2}-a^{2}\right)}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}},\qquad \Omega ={\frac {1}{4\pi ^{3}\left(a'^{2}-a^{2}\right)}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}.$

On a mis le signe $\pm$ devant $a't,$ et l’on prendra successive-