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ou simplement

$\int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '\sin .\theta 'd\theta '={\frac {1}{r_{1}}}\mathrm {U} 'u'fu',$

en s’arrêtant au même degré d’approximation et par la même raison que dans le numéro précédent. Cela étant, en prenant successivement le signe $+$ et le signe $-$ devant $at,$ et faisant la somme des résultats, l’expression de $\Pi '$ deviendra

${\begin{aligned}&\Pi '={\frac {a'^{2}\cos .u}{r_{1}(a^{2}\cos .u+a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}}}\\&\times \left[\left({\frac {x-h}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}+r_{1}+at\right)f\left({\frac {x-h}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}+r_{1}+at\right)\right.\\&\ \ +\left.\left({\frac {x-h}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}+r_{1}-at\right)f\left({\frac {x-h}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}+r_{1}-at\right)\right].\end{aligned}}$

(h)

On y ajoutera la partie correspondante à la fonction $\operatorname {F}$ qui se déduira de celle-ci par la substitution de $\operatorname {F}$ à $f$ et l’intégration par rapport à $t.$

(15) Occupons-nous actuellement de la réduction des formules (c). Si l’on y considère $\alpha ',\beta ,\gamma ,$ comme les trois ccordonnées rectangulaires d’un point de l’espace, les intégrales relatives à ces variables s’étendront d’après leurs limites, à tous les points compris entre le plan des $\beta$ et $\gamma$ et la surface dont l’équation est

$\alpha '=\delta ={\frac {1}{a'}}{\sqrt {\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)}},$

c’est-à-dire, entre le plan des $\beta$ et $\gamma$ et une surface conique qui a son sommet à l’origine des coordonnées et dont la génératrice fait avec ce plan, un angle constant $c,$ moindre que ${\frac {1}{2}}\pi ,$ et tel et tel que l’on a

$\operatorname {tang} .c={\frac {1}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}}}.$