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par $v'$ la somme des résultats, en sorte qu’on ait

${\begin{aligned}v'=&{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left(f'r'\cos .\lambda t+\operatorname {F} 'r'{\frac {\sin .\lambda t}{\lambda }}\right)\cos .\alpha '(x'-x){\frac {a^{2}\alpha }{a'^{2}\alpha '}}d\alpha dx\\&+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\delta }\int _{-\infty }^{\infty }\left(f'r'\cos .\lambda t+\operatorname {F} 'r'{\frac {\sin .\lambda t}{\lambda }}\right)\cos .\alpha '(x'-x)d\alpha 'dx'.\end{aligned}}$

Dans la première de ces deux intégrales, je substitue $\alpha '$ à la variable $\alpha \,;$ en vertu de l’équation

$a^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)=a'^{2}\left(\alpha '^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right),$

qui lie ces variables l’une à l’autre, on aura

$\alpha d\alpha ={\frac {a'^{2}}{a^{2}}}\alpha 'd\alpha '\,;$

et les limites relatives à $\alpha ',$ qui répondent à $\alpha =0$ et $\alpha =\infty ,$ seront $\alpha '=0$ et $\alpha '=\infty .$ Il en résultera donc

${\begin{aligned}v'=&{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{\delta }^{\infty }\left(f'r'\cos .\lambda t+\operatorname {F} 'r'{\frac {\sin .\lambda t}{\lambda }}\right)\cos .\alpha '(x'-x)d\alpha '\right.\\&\left.+\int _{0}^{\delta }\left(f'r'\cos .\lambda t+\operatorname {F} 'r'{\frac {\sin .\lambda t}{\lambda }}\right)\cos .\alpha '(x'-x)d\alpha '\right]dx',\end{aligned}}$

ou, ce qui est la même chose,

$v'={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left(f'r'\cos .\lambda t+\operatorname {F} 'r'{\frac {\sin .\lambda t}{\lambda }}\right)\cos .\alpha '(x'-x)d\alpha 'dx',$

en réunissant en une seule les deux intégrales relatives à $\alpha '.$ Si donc on appelle $\Phi '$ la partie de $\varphi '$ qui répond à cette partie $v'$ de $v,$ on aura, d’après la seconde équation (2),