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$f'(-r')=f'r',\qquad {\frac {d.r'f'r'}{dr^{2}}}=\psi 'r'\,;$

et dans chacune des formules précédentes, il faudra prendre le signe supérieur et le signe inférieur devant $a't,$ et faire ensuite la somme des résultats pour avoir les valeurs totales de $\Pi ,\Pi '$ et $\Omega '.$

Quant à celle de $\Omega ,$ par le même calcul que dans le n^o 15, on pourra réduire la première formule (k) qui la représente, à une intégrale double ; et sans effectuer entièrement cette réduction, on prouvera que cette quantité doit être négligée, lorsqu’il s’agit des points très-éloiguées du centre de l’ébranlement primitif et que l’on s’arrête au même degré d’approximation que dans le n^o 13. Il en sera de même ; mais par une raison différente, à l’égard de la quantité $\Omega ''.$

En effet la transformation du n^o 12 par laquelle on a d’abord changé les équations (b) dans les formules (d). étant appliquée à la troisième équation (k), elle devient

$\Omega ''={\frac {a'^{2}}{2\pi ^{2}\left(a^{2}-a'^{2}\right)}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }{\frac {aa'\sin .^{2}\theta {\sqrt {\cot .^{2}b-\cot .^{2}\theta }}}{a^{2}\sin .^{2}\theta -a'^{2}\cos .^{2}\theta }}$

$\times \rho r'\sin .\rho r'\sin .\rho \varpi 'f'r'dr'd\rho d\theta d\omega ,$

en observant qu’on a, par hypothèse, $f'(-r')=f'r',$ ce qui permet d’étendre l’intégrale relative à $r'$ depuis $r'=-\infty$ jusqu’à $r'=\infty$ pourvu qu’on réduise le résultat à moitié. Si l’on désigne par $g,$ une constante positive, on aura

$\int _{0}^{\infty }e^{-g\rho }\rho r'\sin .\rho r'\sin .\rho \varpi 'd\rho =-{\frac {1}{2}}{\frac {d.}{dr'}}\left({\frac {r'+\varpi '}{g^{2}+\left(r^{2}+\varpi '\right)^{2}}}-{\frac {r'-\varpi '}{g^{2}+\left(r^{2}-\varpi '\right)^{2}}}\right).$

En multipliant par $r'f'r'dr',$ intégrant par partie, et observons que le produit $r'fr'$ peut être regardé comme nul aux