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deux limites $r'=\pm \infty ,$ il vient

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-g\rho }\rho r'\sin .\rho r'\sin .\rho \varpi 'f'r'dr'd\rho =$

${\frac {1}{2}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(r'+\varpi ')\psi 'r'dr'}{g^{2}+(r'+\varpi ')^{2}}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(r'-\varpi ')\psi 'r'dr'}{g^{2}+(r'-\varpi ')^{2}}}\right).$

À la place de $r',$ je mets $\zeta -\varpi '$ dans la première de ces deux dernières intégrales, et $\zeta +\varpi '$ dans la seconde ; les limites relatives à la nouvelle variable $\zeta$ seront encore $\pm \infty \,;$ et si l’on fait la constante $g$ infiniment petite, il en résultera

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }\rho r'\sin .\rho r'\sin .\rho \varpi 'f'r'dr'd\rho ={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\psi '(\zeta -\varpi ')-\psi '(\zeta +\varpi ')}{\zeta }}d\zeta .$

Nous aurons, par conséquent,

$\Omega ''=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{b}^{{\frac {1}{2}}\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {\psi '(\zeta -\varpi ')-\psi '(\zeta +\varpi ')}{\zeta }}\Theta \sin .\theta d\zeta d\theta d\omega ,$

en faisant, pour abréger,

$\Theta ={\frac {aa'^{3}\sin .\theta \cos .\theta {\sqrt {\cot .^{2}b-\cot .^{2}\theta }}}{4\pi ^{2}\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(a^{2}\sin .^{2}\theta -a'^{2}\cos .^{2}\theta \right)}}.$

Or, en remplaçant $\theta$ et $\omega$ par les mêmes variables $\theta '$ et $\omega '$ que dans le n^o 13, et désignant par $r_{1}$ la distance du point $\mathrm {M}$ au point $\mathrm {O}$ situé à la distance $h$ au-dessus de la surface de séparation des deux fluides et dans la même verticale què $\mathrm {O} ',$ cette valeur de $\Omega ''$ deviendra

$\Omega ''=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\iint \left[\psi '(\zeta -r_{1}\cos .\theta '\mp at)\right.\right.$

${\Big .}\left.-\psi '(\zeta +r_{1}\cos .\theta '\pm at)\right]\Theta \sin .\theta 'd\theta 'd\omega '{\Big )}{\frac {d\zeta }{\zeta }},$