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pour l’autre moitié de ces valeurs qu’on peut négliger l’intégrale contenue dans la première formule (r): dans la moitié que l’on devra conserver, et qui s’étendra, par exemple, depuis $\omega '=0$ jusqu’à $\omega '=\pi ,$ on pourra faire, à très-peu près, $\cos .m=1,$ ainsi que dans le terme compris sous le signe $\int \,;$ et, de cette manière, on aura, aussi à très-peu près,

$\Pi ={\frac {a^{2}}{2r_{1}a'^{2}}}\left[(r_{1}+a't)f'(r_{1}+a't)+(r_{1}-a't)f'(r_{1}-a't)\right],$

(t)

pour les valeurs de $u$ moindres que $b$ et qui en different trèspeu. De même si $u$ surpasse $b$ d’une très-petite quantité, la première des deux limites $m_{1}$ et $m_{2}$ sera à très-peu près zéro ; on ne pourra plus négliger la première intégrale contenue dans la seconde formule (r); ses limites $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ pourront être remplacées par zéro et $\pi \,;$ et en y faisant $\cos .m_{1}=1,$ et négligeant toujours la seconde intégrale, la valeur de $\Pi$ coïncidera avec la formule (t), laquelle aura lieu à très-peu près, pour toutes les valeurs de $u$ qui différeront très-peu de $b,$ en plus ou en moins. Cette valeur intermédiaire de $\Pi$ est la moitié de celle que donne la formule (s) pour $u=b$ ou $\sin .u={\frac {a'}{a}}\,;$ et c’est effectivement ce que l’on aurait trouvé, en ayant égard aux limites des intégrales relatives à $\omega '$ qui doivent avoir lieu dans ce cas particulier (n^o 18). Lors donc que la différence $b-u$ passe du positif au négatif, la quantité $\Pi$ passe graduellement de sa valeur donnée par la formule (s) à zéro, et se réduit à la moitié de cette formule, ou à la demi-somme de ses valeurs extrêmes, quand cette différence $b-u$ est tout-à-fait nulle. L’intervalle des valeurs de $u$ dans lequel a lieu cette réduction de $\Pi ,$ d’abord à moitié,