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Cela posé, lorsque l’ébranlement primitif a eu lieu dans le fluide supérieur, on a

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{2r}}\left[(r+at)f(r+at)+(r-at)f(r-at)+\operatorname {F} (r+at)-\operatorname {F} (r-at)\right]\\&+{\frac {a^{2}\cos .u-a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}}{2r'\left(a^{2}\cos .u+a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}\right)}}\\&\times \left[(r'+at)f(r'+at)+(r-at)f(r'-at)+\operatorname {F} (r'+at)-\operatorname {F} (r'-at)\right]\,;\end{aligned}}$

(1)

$r$ et $r'$ étant les distances de $\mathrm {M}$ aux points $\mathrm {O}$ et $\mathrm {O} ',$ et $u$ l’angle que fait la droite $\mathrm {O'M}$ avec la verticale $\mathrm {O'O} .$ Les valeurs initiales de $\varphi$ et ${\frac {d\varphi }{dt}}$ sont des fonctions de $r$ qu’on a supposées égales pour des valeurs égales et contraires de la variable, nulles quand la variable sort des limites $\pm \varepsilon ,$ et qui sont représentées, dans cette formule, par $fr$ et ${\frac {a}{r}}{\frac {d\operatorname {Fr} }{dr}}.$

Dans le même cas, l’expression de $\varphi '$ est

${\begin{aligned}\varphi '&={\frac {a'^{2}\cos .u_{1}}{r_{1}\left(a^{2}\cos .u_{1}+a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u_{1}}}\right)}}\\&\times \left[\left({\frac {x}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u_{1}}}+r_{1}+at\right)f\left({\frac {x}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u_{1}}}+r_{1}+at\right)\right.\\&+\left({\frac {x}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u_{1}}}+r_{1}-at\right)f\left({\frac {x}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u_{1}}}+r_{1}-at\right)\\&+\left.\operatorname {F} \left({\frac {x}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u_{1}}}+r_{1}+at\right)-\operatorname {F} \left({\frac {x}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u_{1}}}+r_{1}-at\right)\right].\end{aligned}}$

(2)

Les fonctions $f$ et $\operatorname {F}$ sont ici les mêmes que dans l’équation (1) ; $r_{1}$ est la distance au centre $\mathrm {O} ,$ d’un point de la surface de séparation des deux fluides, qu’on appellera $\mathrm {H}$ et qui est situé sur la verticale passant par $\mathrm {M} \,;$ $u_{1}$ désigne l’angle que fait la droite $\mathrm {OH}$ avec la verticale $\mathrm {OO} ',$ et $x$ la distance $\mathrm {MH} ,$ laquelle est supposée très-petite par rapport à $h.$