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$\varepsilon ={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}=e^{2}+e^{4}+e^{6}+\ldots$

ou bien

$\varepsilon =e^{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}.$

D’un autre côté si $\alpha$ désigne l’aplatissement du même ellipsoïde, auquel cas $\alpha ={\frac {a-b}{a}},$ on aura exactement

$e^{2}=2\alpha -\alpha ^{2},$

ou

$\varepsilon =\left(2\alpha -\alpha ^{2}\right){\frac {a^{2}}{b^{2}}},$

ou enfin en série,

$\varepsilon =2\alpha +3\alpha ^{2}+4\alpha ^{3}+5\alpha ^{3}+\ldots .$

On voit donc que $e^{2}$ et $\varepsilon$ sont de l’ordre de l’aplatissement, et que les séries précédentes sont exactes aux quantités près du troisième ordre.

Les mesures les plus précises donnant au sphéroïde terrestre un aplatissement de ${\frac {1}{305}},$ il est entièrement inutile, dans les applications, de prolonger davantage ces séries ; on peut même, dans bien des cas, y supprimer les termes du second ordre.

Après avoir rappelé les formules qui servent de base à la résolution des triangles sphéroïdiques, examinons chaque cas en particulier.