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Si l’on voulait obtenir directement la latitude réduite $\lambda '$ on opérerait ainsi qu’il suit.

De ce que $\sin .\lambda '=\sin .\lambda \cos .\sigma ,$ on a évidemment

(4)

$\sin .\lambda '=\sin .\lambda \cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right),$

en désignant dans la série (C) tous les termes en $\varepsilon$ et $\varepsilon ^{2}$ par $\tau .$ Il n’est pas moins évident que si $\lambda '_{0}$ exprime la valeur de $\lambda '$ lorsque $\tau$ ou $\varepsilon =0,$ on aura

$\sin .\lambda '_{0}=\sin .\lambda \cos .{\frac {s}{b}},$

et, par la série de Maclaurin,

$\lambda '=\lambda '_{0}+\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)\tau +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\lambda '}{d\tau ^{2}}}\right)\tau ^{2}+\ldots$

ayant soin de faire $\tau =0$ après les différenciations. Or la relation (4), donne

${\begin{aligned}&\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)=-{\frac {\sin .\lambda \sin .{\frac {s}{b}}}{\cos .\lambda '_{0}}}=-\operatorname {tang} .\lambda '_{0}\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}=\mathrm {M} \\&\left({\frac {d^{2}\lambda '}{d\tau ^{2}}}\right)=\operatorname {tang} .\lambda '_{0}\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)^{2}-\operatorname {tang} .\lambda '_{0}=\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

et l’on a, aux termes près du troisième ordre,

$\tau ^{2}={\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]^{2}\,;$

partant

${\begin{aligned}\lambda '=\lambda '_{0}&-{\frac {1}{4}}\mathrm {M} \varepsilon \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\\&+{\frac {1}{16}}\mathrm {M} \varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[{\frac {7}{4}}{\frac {s}{b}}+\sin .2{\frac {s}{b}}+{\frac {s}{b}}\cos .2{\frac {s}{b}}+{\frac {5}{16}}\sin .4{\frac {s}{b}}\right]\\&+{\frac {1}{32}}\mathrm {N} \varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$