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Cette valeur approchée servira à calculer la série (C) dont on conservera tous les termes, et l’on aura, avec l’exactitude requise,

$\sin .\lambda ={\frac {\sin .\lambda '}{\cos .\sigma }},\qquad \sin .\mathrm {V} '={\frac {\cos .\lambda }{\cos .\lambda '}}\,;$

et enfin la solution du premier cas fera connaître la longitude $\varphi \,;$ ou bien l’on cherchera directement l’angle $\omega ,$ comme dans le problème précédent, lequel sera donné par la relation

$\sin .\omega ={\frac {\sin .({\frac {s}{b}}+\tau )}{\cos .\lambda '}}={\frac {\sin .\sigma }{\cos .\lambda '}}\,;$

et l’on déduira ensuite l’angle $\varphi$ de la série (B) dont les éléments $\sigma$ et $\lambda$ seront connus par ce qui précède.

V^e Cas. Connaissant l’azimut $\mathrm {V} '$ de la perpendiculaire et la différence $\varphi$ en longitude de ses extrémités, trouver les latitudes de ces points et la longueur de cette ligne de plus courte distance.

Solution. Comme dans le triangle sphérique $m'pm,$ substitué au triangle sphéroïdique donné, on a la relation

$\sin .\lambda '=\cot .\mathrm {V} '\cot .(\varphi +\mu ),$

lorsqu’on désigne par $\mu$ tous les termes en $\varepsilon$ dans la série (P), ou ce qui est de même lorsqu’en fait $\omega =\varphi +\mu ,$ il s’ensuit que si $\lambda _{0}'$ est la valeur de $\lambda '$ correspondante à $\mu =0,$ on aura

$\sin .\lambda '_{0}=\cot .\mathrm {V} '\cot .\varphi ,$

et

$\lambda '=\lambda '_{0}+\left({\frac {d\lambda '}{d\mu }}\right)\mu +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\lambda '}{d\mu ^{2}}}\right)\mu ^{2}+\ldots \,;$