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les latitudes réduites $\lambda ',\lambda$ seront exactement données relations

${\begin{aligned}\sin .\lambda '&=\cot .\mathrm {V} '\cot .\omega \\\cos .\lambda \ &=\cos .\lambda '\sin .\mathrm {V} '.\end{aligned}}$

Si l’on était curieux d’avoir immédiatement la ligne géodésique, on partirait de la formule rigoureuse

$\cos .\sigma ={\frac {\cos .(\varphi +\mu )}{\sin .\mathrm {V} '}},$

laquelle servirait à procurer les valeurs des coefficients différentiels de la série

$\sigma =\sigma _{0}+\left({\frac {d\sigma }{d\mu }}\right)\mu +\ldots .$

En effet on aurait

$\cos .\sigma _{0}={\frac {\cos .\varphi }{\sin .\mathrm {V} '}},\qquad \left({\frac {d\sigma }{d\mu }}\right)=\operatorname {tang} .\varphi \cot .\sigma _{0}\,;$

de plus à cause de $\mu ={\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda _{0},$ il viendrait

$\sigma =\sigma _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\varphi \cot .\sigma _{0},$

on sait d’ailleurs que

$\sigma ={\frac {s}{b}}+\tau ={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right],$

aux termes près du second ordre ; ainsi donc

${\frac {s}{b}}=\sigma _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\varphi \cot .\sigma _{0}+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\,;$

mais cette formule n’est suffisamment exacte qu’autant que $\varepsilon$ est fort petit, comme dans le cas du sphéroïde terrestre. On fera attention que $\lambda _{0},$ se déduit de $\operatorname {tang} .\lambda _{0}={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .\sigma _{0}}}.$