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Il est évident qu’en introduisant dans la série (B), et dans la relation $\cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .\mathrm {V} ',$ les valeurs approximatives de $\lambda '$ et $\sigma$ que nous venons de trouver, on aurait $\mu$ ou la somme de tous les termes en $\varepsilon ,$ exacte aux quantités près du troisième ordre : alors en évaluant le second terme de la série qui donne $\lambda ',$ et ayant égard pour cela à ce que

$\left({\frac {d^{2}\lambda '}{d\mu ^{2}}}\right)=\left({\frac {d\lambda '}{d\mu }}\right)^{2}\operatorname {tang} .\lambda '_{0}-2\left({\frac {d\lambda '}{d\mu }}\right)\cot .\varphi ,$

on obtiendrait directement cette latitude réduite au même degré d’exactitude que par le procédé ci-dessus.

VI^e cas. La latitude $\mathrm {H} '$ et la différence en longitude $\varphi$ étant données, trouver l’autre latitude $\mathrm {H}$ et la ligne géodésique $s.$

Solution. Pour résoudre cette question, partons de la relation

$\operatorname {tang} .\lambda ={\frac {\operatorname {tang} .\lambda '}{\cos .\omega }}={\frac {\operatorname {tang} .\lambda '}{\cos .(\varphi +\mu )}},$

et appelons comme à l’ordinaire $\lambda _{0}$ la valeur de $\lambda$ correspondante à $\mu =0\,;$ on aura

$\operatorname {tang} .\lambda _{0}={\frac {\operatorname {tang} .\lambda '}{\cos .\varphi }}\,;$

expression toute connue, puisque $\lambda '$ est la latitude réduite du sommet de la perpendiculaire $s$ dont la latitude vraie donnée est représentée par $\mathrm {H} '.$

On a d’ailleurs, par la série de Maclaurin,

$\lambda =\lambda _{0}+\left({\frac {d\lambda }{d\mu }}\right)\mu +\ldots ,$

et comme

$\left({\frac {d\lambda }{d\mu }}\right)=\sin .\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\varphi ,$