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II^e cas. Connaissant la latitude $\mathrm {H} ',$ l’azimut $\mathrm {V} '$ et la longueur $s$ de la ligne géodésique ; déterminer la latitude $\mathrm {H} '',$ l’azimut $\mathrm {V} ''$ et la différence de longitude $\varphi .$

Solution. On commencera par évaluer $\lambda ,\sigma '$ et $\omega '$ au moyen des relations

$\cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .\mathrm {V} ',\qquad \cos .\sigma '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }},\qquad \operatorname {tang} .\omega '={\frac {\operatorname {tang} .\sigma '}{\cos .\lambda }},$

dans lesquelles $\lambda '$ est donné par la formule

$\operatorname {tang} .\lambda '={\frac {b}{a}}\operatorname {tang} .\mathrm {H} '\,;$

ensuite on déterminera $\sigma ''$ en retournant la serie (A’) par le procédé suivant déjà employé à l’art. 362 du tom. II de la Géodésie.

On tire d’abord de cette série, en n’ayant égard qu’aux quantités du premier et du deuxième ordre,

${\begin{aligned}\sigma ''-\sigma '&={\frac {s}{b}}\left(1-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda +{\frac {7}{64}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&-(\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma ')\left({\frac {1}{8}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&+(\sin .4\sigma ''-\sin .4\sigma ')\left({\frac {1}{256}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)?\end{aligned}}$

ou, ordonnant, on a

$\left.{\begin{aligned}\sigma ''-\sigma '&={\frac {s}{b}}-\varepsilon \left[{\frac {1}{4}}{\frac {s}{b}}\sin .^{2}\lambda +{\frac {1}{8}}\sin .^{2}\lambda (\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma ')\right]\\&+\varepsilon ^{2}\left[{\frac {7}{64}}{\frac {s}{b}}\sin .^{4}\lambda +{\frac {1}{16}}\sin .^{4}\lambda (\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma ')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{256}}\sin .^{4}\lambda (\sin .4\sigma ''-\sin .4\sigma ').\right]\end{aligned}}\right\}$

(A’’)

résultat déjà donné par M. Legendre.