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IV^e cas. Les quantités connues sont $\mathrm {H'V''}$ et $s,$ trouver $\mathrm {H''V} '$ et $\varphi \,;$ c’est-à-dire étant donnés deux côtés et l’angle opposé à l’un deux, trouver les autres parties du triangle.

Solution. De la latitude vraie $\mathrm {H} '$ on passera à la latitude réduite $\lambda '\,;$ et si, pour abréger, l’on fait, comme ci-dessus, $\sigma ={\frac {s}{b}}+\tau ,$ le triangle sphérique correspondant au triangle sphéroïdique donnera

$\sin .\lambda '=\sin .\lambda ''\cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)+\cos .\lambda ''\sin .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)\cos .\mathrm {V} ''.$

Différenciant en faisant varier $\lambda ''$ et $\tau ,$ puis représentant par $\mathrm {L} ''$ ce que devient $\lambda ''$ lorsque $\tau =0$ on aura

$\left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right)={\frac {\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}-\cos .\mathrm {V} ''}{1-\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\cos .\mathrm {V} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}}=\mathrm {M} .$

Quant à la valeur de $\mathrm {L} ''$ elle se tirera évidemment de la relation

$\sin .\lambda '=\sin .\mathrm {L} ''\cos .{\frac {s}{b}}+\cos .\mathrm {L} ''\sin .{\frac {s}{b}}\cos .\mathrm {V} '',$

qui fournira nécessairement deux valeurs. On voit donc qu’en général

$\lambda ''=\mathrm {L} ''+\left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right)\tau +\ldots =\mathrm {L''+M} \tau +\ldots .$

D’un autre côté, à cause de $\cos .\lambda =\cos .\lambda ''\sin .\mathrm {V} '',$ on a

$\cos .\lambda =\cos .\left(\mathrm {L''+M} \tau \right)\sin .\mathrm {V} ''\,:$

ainsi en appelant $\lambda _{0}$ la valeur de $\lambda$ correspondante à $\tau =0,$ on trouve, aux quantités près du second ordre, et parce que $\cos .\lambda _{0}=\cos .\mathrm {L} ''\sin .\mathrm {V} '',$ on trouve, disons-nous

$\cos .\lambda =\cos .\lambda _{0}-\mathrm {\mathrm {M} } \tau \cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '',$