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par suite

$\lambda =\lambda _{0}+\mathrm {M} \tau \cot .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\,;$

et comme $\cos .\sigma '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }},$ il s’ensuit qu’en éliminant $\lambda$ au moyen de sa valeur on a, au même degré de précision,

$\cos .\lambda '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda _{0}}}\left(1-\mathrm {M} \tau \cot .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\right).$

Désignant également par $\sigma '_{0}$ ce que devient $\sigma '$ lorsque $\tau =0,$ on aura $\cos .\sigma '_{0}={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda _{0}}},$ et

$\cos .\sigma '=\cos .\sigma '_{0}-\mathrm {M} \tau \cos .\sigma '_{0}\cot .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '',$

de là

$\sigma '=\sigma '_{0}+\mathrm {M} \tau \cos .\sigma '_{0}\cot .\sigma '_{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''.$

D’un autre côté, à cause de $\sin .\sigma ''=\cot .\lambda \cot .\mathrm {V} '',$ on trouve, en substituant pour $\lambda$ sa valeur ci-dessus,

$\sin .\sigma ''={\frac {\cot .\mathrm {V} ''}{\operatorname {tang} .\lambda _{0}}}\left(1-\mathrm {M} \tau \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\right)\,;$

et si $\sigma ''_{0}$ représente $\sigma ''$ lorsque $\tau =0,$ on aura

$\sin .\sigma ''_{0}=\cot .\mathrm {V} ''\cot .\lambda _{0}$

$\sin .\sigma ''=\sin .\sigma ''_{0}-\mathrm {M} \tau \operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\sin .\sigma ''_{0}\,;$

par suite

$\sigma ''=\sigma ''_{0}-\mathrm {M} \tau \operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}.$

Concluons de là que

${\begin{aligned}&\sin .2\sigma '=\sin .2\sigma '_{0}+2\mathrm {M} \tau \cot .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\cot .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\\&\sin .2\sigma ''=\sin .2\sigma ''_{0}-2\mathrm {M} \tau \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0},\\&\mathrm {A} ^{(1)}=\mathrm {A} ^{(1)}-2\mathrm {M} \tau \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\left[\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0}\right.\\\end{aligned}}$

$\left.+\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\right],$