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per en ne retenant, comme à l’ordinaire, que les termes en $\varepsilon$ et $\varepsilon ^{2}.$ Effectuant ces opérations, on aura pour résultat,

${\begin{aligned}\sigma &={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]-{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]^{2}\\&+{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]\left[\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0}-\operatorname {tang} .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\right]\\&+{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} _{0}^{(1)}+\mathrm {A} _{0}^{(2)}\right].\end{aligned}}$

Enfin de cette valeur on passera à celle de $\operatorname {tang} .\lambda '$ que donnera la relation ci-dessus ; après quoi les autres parties du triangle s’obtiendront sans difficulté.

Il est évident qu’on prolongerait la série qui donne $\lambda '$ comme on l’a fait dans le problème précédent pour avoir directement $\lambda ''.$

VI^e cas. Connaissant la latitude $\mathrm {H} '',$ l’azimut $\mathrm {V} ''$ en ce point et la différence $\varphi$ de longitude des extrémités de la ligne géodésique $s$ inconnue, résoudre le triangle.

Solution. Faisons pour abréger $\omega ''-\omega '=\omega ,$ et désignons par $\mu$ tous les termes en $\varepsilon$ dans la série (B’) du § II ; on aura

${\begin{aligned}\mu &=(\sigma ''-\sigma ')\left[\left({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}\right)\cos .\lambda -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \right]\\&-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \left[{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right],\end{aligned}}$

et

$\omega =\varphi +\mu .$

On sait d’ailleurs que le triangle sphérique, correspondant au triangle sphéroïdique, donne

$\cos .\mathrm {V} ''\sin .\omega +\sin .\mathrm {V} ''\sin .\lambda ''\cos .\omega =\sin .\mathrm {V} ''\cos .\lambda ''\operatorname {tang} .\lambda ',$