Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/727

$\operatorname {tang} .\mathrm {L} '={\frac {\mathrm {\cot .V''\sin .V'-\cos .V} '\cos .{\frac {s}{b}}}{\sin .{\frac {s}{b}}}}.$

Ayant maintenant recours à la relation $\cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .\mathrm {V} ',$ on aura, à cause de $\lambda '=\mathrm {L'+M} \tau$ et de $\cos .\lambda _{0}=\cos .\mathrm {L} '\sin .\mathrm {V} ',$ cette valeur approchée

$\lambda =\lambda _{0}+\mathrm {M} \tau \cot .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ',$

ou, ce qui revient au même,

$\sin .\lambda =\sin .\lambda _{0}+\mathrm {M} \tau \cos .\lambda _{0}\cot .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '\,;$

par suite

$\sin .^{2}\lambda =\sin .^{2}\lambda _{0}+2\mathrm {M} \tau \cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '.$

On sait en outre que

$\sin .\sigma '=\cot .\lambda \cot .\mathrm {V} ',\qquad \sin .\sigma ''=\cot .\lambda \cot .\mathrm {V} ''\,;$

ainsi en remplaçant $\lambda$ par sa valeur ci-dessus, et remarquant que

$\sin .\sigma '_{0}=\cot .\mathrm {V} '\cot .\lambda _{0},\qquad \sin .\sigma ''_{0}=\cot .\mathrm {V} ''\cot .\lambda _{0},$

on obtiendra aisément

${\begin{aligned}\sigma '\;&=\sigma '_{0}-\mathrm {M} \tau \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\sigma '_{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '\\\sigma ''\ &=\sigma ''_{0}-\mathrm {M} \tau \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '\,;\end{aligned}}$

par suite

$\mathrm {A^{(1)}=A_{0}^{(1)}-M\tau \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .L'} \left[\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0}-\operatorname {tang} .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\right].$

Il reste à substituer dans la série $\sigma$ du problème précédent, pour $\sin .^{2}\lambda$ et ${\frac {1}{2}}(\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma ')=\mathrm {A} ^{(1)},$ etc. leurs valeurs, à éliminer ensuite $\tau =-{\frac {1}{2}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right],$ et à dévelop-