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triangle à résoudre, on aura, en appelant $z'$ l’angle intérieur formé par le côté $s$ et le méridien de $\lambda ',$

(E)

$\operatorname {tang} .z'={\frac {\sin .(\varphi +\mu )}{\cos .\lambda '\operatorname {tang} .\lambda ''-\sin .\lambda '\cos .(\varphi +\mu )}}.$

Il est donc évident que si $\mathrm {Z}$ est la valeur de $z'$ lorsque $\mu =0,$ on aura

$z'=\mathrm {Z} +\left({\frac {dz'}{d\mu }}\right)\mu +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}z'}{d\mu ^{2}}}\right)\mu +\ldots .$

Pour tirer de la relation précédente la valeur des coefficients différentiels, on prendra d’abord celle de $\operatorname {tang} .\lambda '',$ ensuite-on la différenciera par rapport à $z'$ et $\mu ,$ et après avoir fait $\mu =0,$ on trouvera

$\left({\frac {dz'}{d\mu }}\right)=\cot .\varphi \mathrm {\sin .Z\cos .Z-\sin .\lambda '\sin .^{2}Z=M} ,$

puisque $z'$ se change en $\mathrm {Z} \,;$ et alors on aura

(E’)

$\operatorname {tang} .\mathrm {Z} ={\frac {\sin .\varphi }{\cos .\lambda '\operatorname {tang} .\lambda ''-\sin .\lambda '\cos .\varphi }}\,;$

ainsi donc

$z'=\mathrm {Z+M} \mu .$

Nous négligeons, comme de coutume, les autres termes de la série qui sont inutiles, vu que, dans le résultat cherché, nous bornons le degré d’approximation aux termes du second ordre en $\varepsilon ^{2}.$

Si nous prenons maintenant la relation $\cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .z',$ on aura

$\cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .(\mathrm {Z+M} u),$

d’où il est facile de conclure que

$\lambda =\lambda _{0}-\mathrm {M} \mu \cot .\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} =\lambda _{0}-u',$