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et

$\cos .\lambda =\cos .\lambda _{0}+\mathrm {M} \mu \cos .\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} ,$

lorsque $\cos .\lambda _{0}=\cos .\lambda '\sin .\mathrm {Z} .$

De plus, à cause de la relation

$\cos .\sigma '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }}={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .(\lambda _{0}-u')}},$

on trouve, par le même procédé,

$\sigma '=\sigma '_{0}-\mathrm {M} \mu \cot .\sigma '_{0}\cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} ,$

lorsqu’on fait $\cos .\sigma '_{0}={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }}.$ On a pareillement

$\sigma ''=\sigma ''_{0}-\mathrm {M} \mu \cot .\sigma ''_{0}\cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} ,$

et par suite

$\sigma ''-\sigma '=\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}+\mathrm {M} \mu \cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} {\frac {\sin .\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)}{\sin .\sigma ''_{0}\sin .\sigma '_{0}}}.$

Il ne reste plus qu’à mettre dans (B’) pour $\cos .\lambda$ et $\sigma ''-\sigma '$ les valeurs qu’on vient de trouver, puis à remplacer $\mu$ par sa valeur approchée $\mu =\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\left({\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda _{0}\right),$ et ensuite à développer en ne conservant que les deux premières puissances de $\varepsilon \,:$ on obtiendra en définitive

(F)

${\begin{aligned}\omega &=\varphi +\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda _{0}-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\cos .\lambda _{0}\left(6+\sin .^{2}\lambda _{0}\right)\right]\\&-{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\left(\sin .2\sigma ''_{0}-\sin .2\sigma '_{0}\right)\\&+{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} {\frac {\sin .\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)}{\sin .\sigma ''_{0}\sin .\sigma '_{0}}}\\&+{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)^{2}\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} .\end{aligned}}$

Dans cette série, les quatre quantités $\mathrm {Z} ,\lambda _{0},\sigma '_{0},\sigma ''_{0}$ sont connues par ce qui précède.