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alors cette série deviendrait

${\begin{aligned}\lambda ''=&\mathrm {L''+M} \left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\cos .\lambda _{0}\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\left(6+\sin .^{2}\lambda _{0}\right)\right]\\&+{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\left(\sin .2\sigma ''_{0}-\sin .2\sigma '_{0}\right)\\&-{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\cot .^{2}\lambda _{0}{\frac {\sin .(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})}{\cos .\sigma ''_{0}\cos .\sigma '_{0}}}\\&+{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}\cos .^{2}\lambda _{0}\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\mathrm {\left[N-2M\operatorname {tang} .L''\right]} .\end{aligned}}$

La latitude réduite $\lambda ''$ étant trouvée, on aura $\lambda '$ par cette relation

$\cos .\lambda '=\cos .\lambda ''\mathrm {\frac {\sin .V''}{\sin .V'}} .$

Recourant ensuite à celles (2) et (3), on obtiendra $\lambda ,\sigma ',\sigma ''\,;$ enfin l’on aura $s$ par la série (A’).

Les solutions précédentes dérivent toutes d’une application fort simple du théorème de Maclaurin relatif à une fonction d’une variable ; voici maintenant deux autres problèmes qui se résolvent aussi facilement à l’aide d’une série applicable à une fonction de deux variables, et dont les solutions méritent, ce nous semble, la préférence sur celles que M. Oriani a données d’une manière très-compliquée dans ses éléments cités de trigonométrie sphéroïdique.

X^e cas. Étant donnés l’azimut $\mathrm {V} '',$ la ligne géodésique $s$ et la différence en longitude $\varphi ,$ trouver les latitudes $\mathrm {H''H'}$ et l’autre azimut $\mathrm {V} '.$

I^re solution. D’après la notation précédente $\omega =\omega ''-\omega '=\varphi +\mu \,;$ et si en outre on fait $\sigma =\sigma ''-\sigma '={\frac {s}{b}}+\tau ,$ on aura, en vertu de la propriété du triangle sphérique correspondant