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au triangle donné,

$\cot .(\varphi +\mu )={\frac {\cot .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)\cos .\lambda ''-\cos .\mathrm {V} ''\sin .\lambda ''}{\sin .\mathrm {V} ''}}\,;$

Ainsi lorsque $\mu$ et $\tau$ sont nuls à la fois la latitude réduite $\lambda ''$ devient $\mathrm {L} '',$ et l’on a

(m)

$\cot .\varphi ={\frac {\cot .{\frac {s}{b}}\cos .\mathrm {L} ''-\cos .\mathrm {V} ''\sin .\mathrm {L} ''}{\sin .\mathrm {V} ''}}\,;$

relation qui fournira deux valeurs pour $\mathrm {L} ''.$

De plus, le théorème de Maclaurin, appliqué à une fonction de deux variables, donne

$\lambda ''=\mathrm {L} ''+\left({\frac {d\lambda ''}{d\mu }}\right)\mu +\left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right)\tau +\ldots .$

Les autres termes étant inutiles à cause du degré d’approximation fixé aux termes du premier et du second ordre, dans le résultat que nous nous proposons de trouver.

D’abord si l’on différencie successivement la relation cidessus par rapport à $\mu$ et $\tau ,$ qu’on fasse ensuite nulles ces variables, on aura

${\begin{aligned}\left({\frac {d\lambda ''}{d\mu }}\right)&={\frac {\sin .\mathrm {V} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}{\sin .^{2}\varphi \left[\sin .\mathrm {L} ''+\cos .\mathrm {L} ''\cos .\mathrm {V} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}\right]}}=\mathrm {M} ,\\\left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right)&={\frac {-\cos .\mathrm {L} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}{\sin .^{2}{\frac {s}{b}}\left[\sin .\mathrm {L} ''+\cos .\mathrm {L} ''\cos .\mathrm {V} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}\right]}}=\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

ou bien

$\mathrm {N} =-{\frac {\sin .^{2}\varphi \cos .\mathrm {L} ''}{\sin .^{2}{\frac {s}{b}}\sin .\mathrm {V} ''}}\mathrm {M} \,;$

et par suite

$\lambda ''=\mathrm {L''+M\mu +N\tau } .$