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cette relation

$\cos .\mathrm {V} ''\sin .\lambda ''+\cot .(\varphi +\mu )\sin .\mathrm {V} ''=\cot .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)\cos .\lambda ''.$

Il est donc évident, qu’en appelant $\mathrm {Z}$ la valeur que prend $\mathrm {V} ''$ lorsque $\mu$ et $\tau$ sont nuls en même temps, on a

$\mathrm {V''=Z+\left({\frac {dV''}{d\mu }}\right)\mu +\left({\frac {dV''}{d\tau }}\right)} \tau +\ldots ,$

et que $\mathrm {Z}$ sera donné par la formule

$\cos .\mathrm {Z} \sin .\lambda ''+\sin .\mathrm {Z} \cot .\varphi =\cot .{\frac {s}{b}}\cos .\lambda ''.$

La précédente étant différenciée successivement par rapport aux variables $\mathrm {V} '',\mu$ et $\tau ,$ on aura

${\begin{aligned}\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\mu }}\right)&=\mathrm {{\frac {\sin .Z\operatorname {tang} .\varphi }{\sin .^{2}\varphi \left[\cos .Z-\sin .Z\sin .\lambda ''\operatorname {tang} .\varphi \right]}}=M} ,\\\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\tau }}\right)&={\frac {-\cos .\lambda ''\operatorname {tang} .\varphi }{\sin .^{2}{\frac {s}{b}}\mathrm {\left[\cos .Z-\sin .Z\sin .\lambda ''\operatorname {tang} .\varphi \right]} }}=\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

d’où

$\mathrm {N} ={\frac {-\sin .^{2}\varphi \cos .\lambda ''}{\sin .^{2}{\frac {s}{b}}\sin .\mathrm {Z} }}\mathrm {M} .$

On a donc, en s’arrêtant aux termes du premier ordre,

$\mathrm {V''=Z+M\mu +N\tau =Z+\theta } ,$

expression dans laquelle on a fait $\mathrm {M\mu +N} \tau =\theta ,$ pour abréger.

Comme il s’agit maintenant d’avoir $\mu$ et $\tau$ en quantités toutes connues, prenons d’abord la relation $\cos .\lambda =\cos .\lambda ''\sin .\mathrm {V} '',$ et mettons-y pour $\mathrm {V} ''$ sa valeur approchée ; on aura, conformément à la notation adoptée,

$\cos .\lambda =\cos .\lambda _{0}+\theta \cos .\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} ,$