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tue les substitutions qui viennent d’être indiquées, on trouvera en définitive,

${\begin{aligned}\psi &={\frac {1}{4}}\varepsilon \mathrm {PE} -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\mathrm {MPE} \cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\left[1-\cos .\lambda _{0}\left({\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right)\right]\\&-{\frac {3}{16}}\varepsilon ^{2}\cos .\lambda _{0}\left[2{\frac {s}{b}}+\sin .^{2}\lambda _{0}\left({\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right)\right]\\&-{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\mathrm {P} \sin .^{4}\lambda _{0}\left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} _{0}^{(1)}+\mathrm {A} _{0}^{(2)}\right]\\&+{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\mathrm {Q} \sin .^{4}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]^{2}.\end{aligned}}$

Cette valeur étant obtenue, on déterminera aisément $\lambda ''$ en résolvant l’équation (b) ; ou bien l’on aura cette latitude réduite en prolongeant la série (d) qui en est l’expression. Dans ce cas l’on y mettra pour $\psi$ sa valeur ci-dessus, et le coefficient différentiel du second ordre sera

$\left({\frac {d^{2}\lambda ''}{d\psi ^{2}}}\right)=-\mathrm {\mathrm {M} } \cot .\varphi \left(2+\mathrm {M} ^{2}\sin .^{2}\varphi \right).$

On voit donc que par l’une ou l’autre de ces deux solutions, la question donne lieu à une assez longue série de calculs. Il en est de même du cas suivant dont nous nous contenterons de donner une solution.

XI^e cas. Étant données la ligne géodésique $s,$ la latitude $\mathrm {H} ''$ de l’une de ses extrémités, et la différence en longitude $\varphi$ de ces mêmes points ; trouver l’azimut $\mathrm {V} ''.$

Solution. Si, comme dans le problème précédent,

$\omega =\omega ''-\omega '=\varphi +\mu ,\qquad \sigma =\sigma ''-\sigma '={\frac {s}{b}}+\tau ,$

le triangle sphérique correspondant au triangle donné offrira