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diens elliptiques $\mathrm {M_{1}P,M_{2}P,M_{3}P} \,;$ car on aurait

$\mathrm {M_{1}M_{2}M_{3}=M_{1}PM_{2}+M_{2}PM_{3}-M_{1}PM_{3}} .$

Reste à savoir déterminer l’aire d’une triangle sphéroïdique dont deux côtés sont des arcs de méridiens : or on y parviendra ainsi qu’il suit.

Supposons qu’un tel triangle $\mathrm {M_{1}PM} _{n+1}=\mathrm {T} _{n}$ $\mathrm {M} ,$ PMT, soit partagé en un assez grand nombre d’autres $\mathrm {M_{1}PM_{2},M_{2}PM_{3},M_{3}PM_{4}} \ldots$ $\mathrm {M} _{n}\mathrm {P} \mathrm {M} _{n+1},$ $n$ étant leur nombre ; et que, pour plus de simplicité, les méridiens $\mathrm {PM_{1}} ,\mathrm {PM_{3}} \ldots \mathrm {PM} _{n}$ divisent l’angle $\mathrm {M_{1}PM} _{n+1}=\varphi _{n}$ en parties égales ; on aura alors

$\varphi _{n}=n\varphi ,$

$\varphi$ désignant un de ces angles partiels, et $n$ étant pris de manière que $q$ soit d’un demi-degré au plus. Cela posé chaque aire partielle $\mathrm {T_{1},T_{2}\ldots T} _{n},$ sera à très-peu près équivalente à celle de la portion de fuseau ellipsoidique dont $\varphi$ désigne l’angle, et dont l’arc de parallèle intercepté a pour latitude la moyenne $\psi$ entre celles des points $\mathrm {M_{1}M_{2},M_{2}M_{3}} ,$ etc.

Soient de plus $\mathrm {H_{1}H_{2}H_{3}\ldots H} _{n+1}$ les latitudes respectives des points $\mathrm {M_{1}M_{2}M_{3}\ldots M} _{n+1}$ qu’on déterminera en résolvant par le VI^e cas un triangle sphéroïdique dont on connaîtra deux angles et un côté ; et l’on aura pour l’expression différentielle de l’un de ces fuseaux

$d\mathrm {T} ={\frac {\varphi \pi b^{2}d.\sin .\psi }{200^{\text{g}}\left(1-e^{2}sin.^{2}\psi \right)^{2}}},$

(Géodésie, p. 335.)

Développant le second membre en série, et intégrant entre les limites $\psi$ et $100^{\text{g}},$ on obtiendra définitivement