Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/770

De là

${\frac {\mathrm {Z'-Z} }{2}}={\frac {z'-z}{2}}+{\frac {dz'-dz}{2}}+{\frac {n'-n}{2}}.\mathrm {\frac {K}{R}} ,$

et pour véritable différence de niveau partielle

$x+dx=\mathrm {\frac {K}{\cos .{\frac {1}{2}}\left({\frac {K}{R}}\right)}} .\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}(z'-z)+{\frac {\mathrm {K} }{2}}(dz'-dz)+\mathrm {\frac {K^{2}}{2R}} (n'-n),$

dans la supposition toutefois que la base $\mathrm {K}$ est exactement connue. Si au contraire elle est entachée d’une erreur $dk,$ on aura alors, en faisant ${\frac {1}{2}}(z'-z)-v$ et $n'-n=dn,$ pour abréger, et prenant pour $\mathrm {K}$ sa longueur kau niveau de la mer,

$dx=vdk-{\frac {k}{2}}dz+{\frac {k}{2}}dz'+{\frac {k^{2}}{2\mathrm {R} }}dn.$

Chaque nivellement partiel donnera évidemment une équation semblable ; ainsi lorsque $\mathrm {X}$ est la différence de niveau des deux points extrêmes de la chaîne de triangles, on a, en supposant $\cos .{\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{\mathrm {R} }}\right)=1,$

$\mathrm {X} =k_{1}\operatorname {tang} .v_{1}+k_{2}\operatorname {tang} .v_{2}+k_{3}\operatorname {tang} .v_{3}\ldots +k_{(i)}\operatorname {tang} .v_{(i)},$

$i$ étant le nombre de ces nivellements partiels ; et sa différentielle $d\mathrm {X}$ a généralement pour expression

$d\mathrm {X} =\sum (vdk)-\sum \left({\frac {k}{2}}dz\right)+\sum \left({\frac {k}{2}}dz'\right)+\sum \left({\frac {k^{2}}{2\mathrm {R} }}dn\right),$

$\sum$ désignant la somme de tous les termes pareils à celui que cette caractéristique précède. Il résulte delà et de la règle générale énoncée ci-dessus pour déterminer l’erreur probable de $\mathrm {X} ,$ que cette erreur est

(1)

$d\mathrm {X} ={\sqrt {\sum (vdk)^{2}+\sum \left({\frac {k}{2}}dz\right)^{2}+\sum \left({\frac {k}{2}}dz'\right)^{2}+\sum \left({\frac {k^{2}}{2\mathrm {R} }}dn\right)^{2}}}.$