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duit d’une suite de nivellements partiels à chacun desquels on applique la formule

(A)

$x=\mathrm {\frac {K}{\cos .{\frac {1}{2}}\left({\frac {K}{R}}\right)}} .\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}(z'-z),$

$z$ et $z'$ étant les distances zénitales moyennes apparentes, observées réciproquement aux extrémités de la base $\mathrm {K,}$ $\mathrm {R}$ désignant le rayon de la terre, et $x$ la différence de niveau de ces deux extrémités. (Voyez p. 6 du Supplément au Traité de Géodésie). On sait de plus que les distances zénitales qui sont données par plusieurs séries prises avec le cercle répétiteur, et qui diffèrent peu de l’angle droit, sont en général affectées d’erreurs fortuites provenant des défauts de l’instrument ou d’autres causes accidentelles ; nous désignerons donc ces erreurs respectivement par $dz$ et $dz'.$ Enfin il est évident que les observations n’ayant pas été faites simultanément aux extrémités de la base, la réfraction, supposée la même dans la formule précédente, a pu cependant être différente en passant d’une station à l’autre ; ainsi nous aurons égard à cette circonstance en appelant $r\ r'$ les réfractions relatives à $z$ et $z'.$

Cela posé, on aura, en désignant par $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z} '$ les distances zénitales moyennes rigoureuses

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {Z} \ &=z+dz+r&&=z+dz+{\frac {n\mathrm {K} }{\mathrm {R} }}\\\mathrm {Z} '&=z'+dz'+r'&&=z'+dz'+{\frac {n'\mathrm {K} }{\mathrm {R} }},\end{alignedat}}$

$n,n'$ étant les coefficients variables de la réfraction.