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${\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\cos .&\rho \left[(x-x')\cos .\theta +(y-y')\sin .\theta \sin .\omega \right.\\&\left.+(z-z')\sin .\theta \cos .\omega \right]\sin .\theta \,d\theta \,d\omega ={\frac {4\pi \sin .\rho r'}{\rho r'}},\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin .\rho r'}{\rho }}d\rho ={\frac {1}{2}}\pi \,;\end{aligned}}$

d’où il résultera

$\left.{\begin{aligned}\varphi &=\varphi '+{\frac {1}{4\pi }}\iiint \psi (x',y',z'){\frac {dx'dy'dz'}{r'}},\\\Pi &=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint \psi (x',y',z'){\frac {dx'dy'dz'}{\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\,;\end{aligned}}\right\}$

(11)

ce qui réduit à une intégrale triple, l’intégrale sextuple dont il s’agissait.

(5) Pour réduire encore davantage, l’intégrale dépendante de celle-ci ou de la fonction $\Pi ,$ que renferme la formule (10), soit

${\begin{aligned}\zeta =\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }&\left[(x+at\cos .\theta -x')^{2},(y+at\sin .\theta \sin .\omega -y')^{2}\right.\\&\left.(z+at\sin .\theta \cos .\omega -z')^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}at\sin .\theta d\theta \,d\omega .\end{aligned}}$

(12)

En faisant

$\left.{\begin{aligned}x'-x&=r'\cos .\theta ',\\y'-y&=r'\sin .\theta '\sin .\omega ',\\z'-z&=r'\sin .\theta '\cos .\pi ',\end{aligned}}\right\}$

(13)

nous aurons d’abord

$\zeta =\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\left[r'^{2}-2r'at\left(\cos .\theta \cos .\theta '+\sin .\theta \sin .\theta '\cos .(\omega '-\omega )\right)\right.$

$\left.+a^{2}t^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}at\sin .\theta \,d\theta \,d\omega .$