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pour la valeur de $\Pi (x,y,z).$ Les deux fonctions $\operatorname {F}$ et $\Pi$ étant ainsi déterminées, si l’on met la formule (10), à la place de $\varphi ',$ dans la formule (9), l’expression de $\varphi$ qui en résultera, sera l’intégrale complète de l’équation (8) ; et en substituant cette expression de $\varphi$ dans les équations (6) et (7), on aura les intégrales complètes des équations (4) et (5). Mais avant d’effectuer ces substitutions, nous réduirons à une forme plus simple, l’intégrale contenue dans la formule (9) et dans la valeur précédente de $\Pi (x,y,z).$

(4) Considérons \alpha,\beta,\gamma, comme les trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque de l’espace ; remplaçons ces trois variables, par les coordonnées polaires du même point ; et faisons, en conséquence,

$\alpha =\rho \cos .\theta ,\qquad \beta =\rho \sin .\theta \sin .\omega ,\qquad \gamma =\rho \sin .\theta \cos .\omega \,;$

$\rho$ étant son rayon vecteur, et $\theta$ et $\omega$ les deux angles qui en déterminent la direction. Nous aurons

$d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,;$

les intégrales relatives à $\rho ,\theta ,\omega ,$ s’étendront depuis $\rho =0,$ $\theta =0,$ $\omega =0,$ jusqu’à $\rho =\infty ,$ $\theta =\pi ,$ $\omega =2\pi \,;$ et la formule (9) deviendra

$\varphi =\varphi '+{\frac {1}{8\pi ^{3}}}\iiint \!\!\!\iiint \psi (x',y',z')\cos .\rho \left[(x-x')\cos .\theta \right.$

$\left.+(y-y')\sin .\theta \sin .\omega +(z-z')\sin .\theta \cos .\omega \right]\sin .\theta d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz'$

Mais, d’après des formules connues, si l’on fait

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}=r'^{2},$

et que l’on regarde $r'$ comme positif, on a