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Or, en vertu de ces deux dernières équations, si l’on ajoute, membre à membre, l’équation (10) et la première équation (11), on aura finalement

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\operatorname {F} \left(x+at\cos .\theta ,y+at\sin .\theta \sin .\omega ,\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.z+at\sin .\theta \cos .\omega \right)t\sin .\theta d\theta \,d\omega ,\\&+{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{at}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\psi \left(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.z+at\sin .\theta \cos .\omega \right)\rho \sin .\theta d\rho \,d\theta \,d\omega ,\end{aligned}}$

(14)

en employant dans cette dernière intégrale, $\rho ,\theta ,\omega ,$ au lieu de $r',\theta ',\omega '.$

Cette expression de $\varphi$ est, sous la forme la plus simple, l’intégrale générale de l’équation (8). En la substituant, comme on l’a dit, dans les équations (6) et (7), on aura les intégrales des équations (4) et (5) qu’il s’agissait d’obtenir. On se souviendra que ${\frac {1}{a^{2}}}\operatorname {F} (x,y,z),$ $\mathrm {U,V,W} ,$ sont les valeurs de $s,u,v,w,$ qui répondent à $t=0,$ et qu’on a fait, pour abréger,

${\frac {d\mathrm {U} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {W} }{dz}}=\psi (x,y,z).$

(6) Appliquons ce résultat au cas où les quantités $\mathrm {U,V,W} ,$ sont les différences partielles relatives à $x,y,z,$ d’une fonction de ces trois variables, et supposons qu’on ait

$\mathrm {U} ={\frac {df(x,y,z)}{dx}},\qquad \mathrm {V} ={\frac {df(y,y,z)}{dy}},\qquad \mathrm {W} ={\frac {df(z,y,z)}{dz}}\,;$

d’où il résultera

$\psi (x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )={\frac {d^{2}\varpi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dz^{2}}},$

(15)