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en faisant, pour abréger,

$f(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )=\varpi .$

D’après cette expression de $\varpi ,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\varpi }{d\rho }}&={\frac {d\varpi }{dx}}\cos .\theta +{\frac {d\varpi }{dy}}\sin .\theta \sin .\omega +{\frac {d\varpi }{dz}}\sin .\theta \cos .\omega ,\\{\frac {d\varpi }{d\rho }}&=-{\frac {d\varpi }{dx}}\rho \sin .\theta +{\frac {d\varpi }{dy}}\rho \cos .\theta \sin .\omega +{\frac {d\varpi }{dz}}\rho \cos .\theta \cos .\omega ,\\{\frac {d\varpi }{d\omega }}&={\frac {d\varpi }{dy}}\rho \sin .\theta \cos .\omega -{\frac {d\varpi }{dz}}\rho \sin .\theta \sin .\omega \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {d\varpi }{dx}}&={\frac {d\varpi }{d\rho }}\cos .\theta -{\frac {d\varpi }{d\theta }}{\frac {\sin .\theta }{\rho }},\\{\frac {d\varpi }{dy}}&={\frac {d\varpi }{d\rho }}\sin .\theta \sin .\omega +{\frac {d\varpi }{d\theta }}{\frac {\cos .\theta \sin .\omega }{\rho }}+{\frac {d\varpi }{d\omega }}{\frac {\cos .\omega }{\rho \sin .\theta }},\\{\frac {d\varpi }{dz}}&={\frac {d\varpi }{d\rho }}\sin .\theta \cos .\omega +{\frac {d\varpi }{d\theta }}{\frac {\cos .\theta \cos .\omega }{\rho }}-{\frac {d\varpi }{d\omega }}{\frac {\sin .\omega }{\rho \sin .\theta }}.\end{aligned}}$

En mettant ${\frac {d\varpi }{dx}}$ au lieu de $\varpi$ dans la première de ces trois dernières équations, on a

${\frac {d^{2}\varpi }{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\varpi }{dx\,d\rho }}\cos .\theta -{\frac {d^{2}\varpi }{dx\,d\theta }}{\frac {\sin .\theta }{\rho }}\,;$

et en différentiant successivement cette même équation par rapport à $\rho$ et à $\theta ,$ il vient

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\varpi }{dx\,d\rho }}&={\frac {d^{2}\varpi }{d\rho ^{2}}}\cos .\theta -{\frac {d^{2}\varpi }{d\rho \,d\theta }}{\frac {\sin .\theta }{\rho }}+{\frac {d\varpi }{d\theta }}{\frac {\sin .\theta }{\rho ^{2}}},\\{\frac {d^{2}\varpi }{dx\,d\theta }}&={\frac {d^{2}\varpi }{d\rho \,d\theta }}\cos .\theta -{\frac {d\varpi }{d\rho }}\sin .\theta -{\frac {d^{2}\varpi }{d\theta ^{2}}}{\frac {\sin .\theta }{\rho }}-{\frac {d\varpi }{d\theta }}{\frac {\cos .\theta }{\rho }}\,;\end{aligned}}$

par conséquent, on aura