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soit moindre que $\varepsilon ,$ condition nécessaire pour que les deux fonctions $\operatorname {F} (r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})$ et $f(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})$ ne soient pas nulles.

Les variables $\eta$ et $\eta '$ pouvant être positives ou négatives, et leur rapport n’étant aucunement limité, nous ferons

$\eta r=s\sin .\sigma ,\qquad \eta 'r\sin .\mu =s\cos .\sigma ,$

et nous regarderons les nouvelles variables $s$ et $\sigma ,$ comme des quantités positives dont la seconde s’étendra depuis zéro jusqu’à $2\pi .$ En les substituant à $\eta$ et $\eta ',$ on aura, d’après les règles connues de la transformation des intégrales multiples,

$r^{2}\sin .\mu \,d\eta \,d\eta '=s\,ds\,d\sigma .$

À cause de $r_{1}^{2}=\zeta ^{2}+s^{2},$ il faudra que la quantité $\zeta$ ou $r-at,$ tombe entre les limites $\pm \varepsilon ,$ ainsi qu’on la déjà vu dans le numéro précédent ; et cette condition étant remplie, les limites de $s$ seront zéro et ${\sqrt {\varepsilon ^{2}-\zeta ^{2}}}.$ Par conséquent, nous aurons

${\begin{aligned}\varphi _{1}={\frac {1}{4\pi ar}}\int _{0}^{\delta }\int _{0}^{2\pi }\operatorname {F} &(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})s\,ds\,d\sigma \\-&{\frac {1}{4\pi r}}{\frac {d.}{d\zeta }}\int _{0}^{\delta }\int _{0}^{2\pi }f(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})s\,ds\,d\sigma ,\end{aligned}}$

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en faisant, pour abréger,

$\delta ={\sqrt {\varepsilon ^{2}-\zeta ^{2}}},$

et déterminant $r_{1},\mu _{1},\lambda _{1}$ en fonctions de $\zeta ,s,\sigma ,$ au moyen des formules

${\begin{aligned}&r_{1}={\sqrt {\varepsilon ^{2}-\zeta ^{2}}},\\&\cos .\mu _{1}={\frac {\zeta \cos .\mu -s\sin .\mu \sin .\sigma }{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\zeta ^{2}}}},\\&\operatorname {tang} .\lambda _{1}={\frac {\zeta \sin .\mu \sin .\lambda +s\cos .\mu \sin .\lambda \sin .\sigma -s\cos .\lambda \cos .\sigma }{\zeta \sin .\mu \cos .\lambda +s\cos .\mu \cos .\lambda \sin .\sigma +s\sin .\lambda \cos .\sigma }}.\end{aligned}}$