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(9) Les trois premières équations (20) feront connaître les composantes de la vitesses du point $\mathrm {M}$ suivant les axes des $x,y,z\,;$ si l’on désigne par $x_{1},y_{1},z_{1},$ les coordonnées du même point par rapport à trois autres axes rectangulaires, et par $u_{1},v_{1},w_{1},$ les composantes de sa vitesse suivant ces nouveaux axes, on aura de même

$u_{1}={\frac {d\varphi _{1}}{dx_{1}}},\qquad v_{1}={\frac {d\varphi _{1}}{dy_{1}}},\qquad w_{1}={\frac {d\varphi _{1}}{dz_{1}}},$

or, on peut rendre mobiles les axes $x_{1},y_{1},z_{1}\,;$ et si l’on suppose que l’axe des $x_{1}$ coïncide, à un instant quelconque, avec le rayon vecteur $r$ du point $\mathrm {M} ,$ l’axe des $y_{1}$ avec la perpendiculaire à ce rayon comprise dans le même plan que l’axe des $x,$ et l’axe des $z_{1}$ avec la perpendiculaire au plan de ce même rayon et de l’axe des $x,$ on aura

$dx_{1}=dr,\qquad dy_{1}=rd\mu ,\qquad dz_{1}=r\sin .\mu .d\lambda ,$

d’après la signification des angles $\mu$ et $\lambda ,$ et, par conséquent,

$u_{1}={\frac {d\varphi _{1}}{dr}},\qquad v_{1}={\frac {1}{r}}{\frac {d\varphi _{1}}{d\mu }},\qquad w_{1}={\frac {1}{r\sin .\mu }}{\frac {d\varphi _{1}}{d\lambda }}.$

Cela posé, on voit par la formule (21) et les valeurs de $r_{1},\mu _{1},\lambda _{1},$ qu’il y faut employer, que les rapports ${\frac {v_{1}}{u_{1}}}$ et ${\frac {w_{1}}{u_{1}}}$ sont des quantités très-petites, du même ordre de grandeur que la fraction ${\frac {\varepsilon }{r}}\,;$ il en résulte donc qu’à mesure que l’on s’éloigne du centre de l’ébranlement primitif, la vitesse du point $\mathrm {M}$ approche de plus en plus d’être dirigée suivant son rayon vecteur $r,$ et qu’à une très-grande distance, où l’onde mobile peut être regardée comme sensiblement plane dans une grande