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(10) Relativement à la formule (18), il nous suffira d’en considérer le second terme, puisque le premier est le même que dans la formule (19) dont nous venons de nous occuper. Or, l’angle $m$ étant le même que précédemment, les équations (17) donnent

$r'^{2}=(r-\rho )^{2}+4r\rho \cos .^{2}m\,;$

de plus la variable $r'$ devant être très-petite, pour que la valeur de $\varphi$ dont il s’agit, ne soit pas nulle, il faudra que la différence $r-\rho$ soit aussi très-petite ; et par ces considérations, on transformera d’abord l’intégrale double

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\psi (r',\mu ',\lambda ')\rho \sin .\theta \,d\theta \,d\omega ,$

en celle-ci :

${\frac {1}{r}}\int _{0}^{\delta }\int _{0}^{2\pi }\psi (r',\mu ',\lambda ')s\,ds\,d\sigma ,$

dans laquelle on a

$\delta ={\sqrt {\varepsilon ^{2}-(r-\rho )^{2}}},\qquad r'={\sqrt {s^{2}+(r-\rho )^{2}}},$

et où les valeurs de $\mu '$ et $\lambda '$ seront données par les formules :

$\cos .\mu '={\frac {r-\rho }{r'}}\cos .\mu -{\frac {1}{r'}}{\sqrt {r'^{2}-(r-\rho )^{2}}}\sin .\mu \sin .\sigma$

$\operatorname {tang} .\lambda '=$

${\frac {(r-\rho )\sin .\mu \sin .\lambda +{\sqrt {r'^{2}-(r-\rho )^{2}}}(\sin .\mu \sin .\lambda \sin .\sigma -\cos .\lambda \cos .\sigma )}{(r-\rho )\sin .\mu \cos .\lambda +{\sqrt {r'^{2}-(r-\rho )^{2}}}(\sin .\mu \cos .\lambda \sin .\sigma +\sin .\lambda \cos .\sigma )}}.$

Si l’on substitue ensuite $r'$ à $s$ dans l’intégration relative à cette dernière variable, on aura $sds=r'dr'\,;$ et comme $r'$ est une quantité positive, les limites qui répondent à $s=\delta$ et $s=0,$ seront $r'=\varepsilon$ et $r'=\pm (r-\rho ),$ en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que $\rho$ sera $<$ ou $>r.$