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$\alpha {\frac {d\mathrm {T} }{dt}}=a{\frac {d\mathrm {T} }{dx}},\qquad \beta {\frac {d\mathrm {T} }{dt}}=a{\frac {d\mathrm {T} }{dy}},\qquad \gamma {\frac {d\mathrm {T} }{dt}}=a{\frac {d\mathrm {T} }{dz}}\,;$

d’où l’on tire pour la valeur de $\mathrm {T} ,$ une fonction arbitraire de $\alpha x+\beta y+\gamma z+at,$ ou de $q,$ que l’on pourra comprendre dans $\varphi q.$ Cela revient à prendre $\mathrm {T} =1.$ On aura alors

$u=a\alpha \varphi q,\qquad v=a\beta \varphi q,\qquad w=a\gamma \varphi q,\qquad s=\varphi q\,;$

où l’on voit que la direction de la résultante de $u,v,w,$ ou la vitesse propre de chaque molécule, coïncide avec la normale aux ondes planes que nous considérons ; ce qu’il s’agissait de démontrer. À cause de $\omega =a,$ ces ondes se propageront avec la vitesse $a,$ indépendante de leur direction, et du côté où la normale à leur plan fait avec les axes des $x,y,z,$ les angles donc les cosinus sont $-\alpha ,-\beta ,-\gamma .$ En appelant $u_{1}$ la résultante de $u,v,w,$ et la considérant comme positive ou comme négative, selon qu’elle sera dirigée dans le sens ou en sens contraire de la propagation, on aura $s=-{\frac {u_{1}}{a}},$ comme dans le cas des ondes sphériques.

Il n’était pas inutile de comparer les ondes planes aux ondes sphériques ; mais les premières ne pourraient s’observer que dans un cylindre perpendiculaire à leur surface, et les ondes sphériques sont les seules qui aient lieu dans un fluide homogène et indéfiniment étendu en tous sens, en supposant toutefois que le mouvement a ď’abord été circonscrit dans une portion limitée de ce milieu élastique.