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§ II.

Propagation du mouvement dans un corps solide élastique.

(12) Nous représenterons par $x,y,z,$ les trois cordonnées rectangulaires d’un point quelconque $\mathrm {M}$ de ce corps, dans son état naturel ; par $x+u,$ $y+v,$ $z+w,$ ce qu’elles sont devenues au bout du temps $t,$ compté de l’origine du mouvement, et par $\rho$ la densité du milieu élastique en ce même point. Nous ferons abstraction de la pesanteur et de toute autre force accélératrice, et nous supposerons que le mouvement soit produit par les déplacements qu’on a fait subir et les vitesses qu’on a imprimées arbitrairement aux différents points du corps que l’on considère. Les équations de ce mouvement seront alors

$\left.{\begin{alignedat}{4}\rho {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&+{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{dx}}&&+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dy}}&&+{\frac {d\mathrm {P} _{3}}{dz}}&&=0,\\\rho {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&+{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{dx}}&&+{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{dy}}&&+{\frac {d\mathrm {Q} _{3}}{dz}}&&=0,\\\rho {\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}&+{\frac {d\mathrm {R} _{1}}{dx}}&&+{\frac {d\mathrm {R} _{2}}{dy}}&&+{\frac {d\mathrm {R} _{3}}{dz}}&&=0.\end{alignedat}}\right\}$

(1)

Si, de plus, on veut connaître les petites dilatations ou contractions dont les vibrations sont accompagnées, et qu’on appelle $s$ la dilatation positive ou négative qui répond au point $\mathrm {M} ,$ on aura

$s={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}},$

pour la déterminer quand les valeurs de $u,v,w,$ seront connues en fonctions de $x,y,z,t.$

Les neuf quantités $\mathrm {P_{1},P_{2}} ,$ etc., expriment les composantes des pressions rapportées à l’union de surface, qui ont lieu au