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D’après ce qu’on a dit plus haut, ces expressions de $u,v,w,$ seront les intégrales complètes des équations (2) ; mais on peut les réduire à une forme plus simple par l’analyse suivante.

(15) Considérons les intégrales sextuples

${\begin{aligned}\zeta &=\iiint \!\!\!\iiint \varphi (x',y',z')\cos .\rho \delta \cos .\rho at.\alpha ^{2}\rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz',\\\zeta '&=\iiint \!\!\!\iiint \varphi (x',y',z')\cos .\rho \delta \cos .\rho at.\beta \gamma \rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz',\end{aligned}}$

dont les limites sont les mêmes que précédemment.

Si nous faisons

${\begin{aligned}x'&=x+\rho '\cos .\theta ',\\y'&=y\,+\rho '\sin .\theta '\sin .\omega ',\\z'&=z\ +\rho '\sin .\theta '\cos .\omega ',\end{aligned}}$

et que nous remplacions $x',y',z',$ par les nouvelles variables $\rho ',\theta ',\omega ',$ nous aurons

$dx'dy'dz'=\rho '^{2}\sin .\theta 'd\rho 'd\theta 'd\omega ',$

et les limites relatives à $\rho ',\theta ',\omega ',$ seront les mêmes que par rapport à $\rho ,\theta ,\omega .$ Nous aurons aussi

$\delta =\rho '\left(\cos .\theta \cos .\theta '+\sin .\theta \sin .\theta '\cos .(\omega -\omega ')\right)\,;$

d’où il résultera

$\zeta \ =\iiint \!\!\!\iiint \varphi (x',y',z')\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\cos .\rho at.\alpha ^{2}\rho ^{2}\rho '^{2}\sin .\theta \sin .\theta '$

$\times d\rho \,d\theta \,d\omega \,d\rho 'd\theta 'd\omega ',$

$\zeta '=\iiint \!\!\!\iiint \varphi (x',y',z')\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\cos .\rho at.\beta \gamma \rho ^{2}\rho '^{2}\sin .\theta \sin .\theta '$

$\times d\rho \,d\theta \,d\omega \,d\rho 'd\theta 'd\omega ',$

en conservant $x',y',z',$ à la place de leurs valeurs, et posant