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$\cos .\theta \cos .\theta '+\sin .\theta \sin .\theta '\cos .(\omega -\omega ')=\cos .\theta _{1}.$

D’après cette dernière équation, les angles $\theta ,\theta ',\theta _{1},$ peuvent être regardés comme les trois côtés d’un triangle sphérique dans lequel l’angle opposé à $\theta _{1}$ sera $\omega -\omega '.$ Si l’on appelle $\omega _{1}$ l’angle opposé à $\theta ,$ on aura

${\begin{aligned}&\cos .\theta =\cos .\theta '\cos .\theta _{1}+\sin .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1},\\&\sin .\theta \sin .(\omega -\omega ')=\sin .\theta _{1}\sin .\omega _{1}\,;\end{aligned}}$

en substituant la valeur de $\cos .\theta$ dans celle de $\cos .\theta _{1},$ on en déduit

$\sin .\theta \sin .(\omega -\omega ')=\sin .\theta '\cos .\theta _{1}-\cos .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1}\,;$

et de ces trois dernières équations, on conclut

${\begin{aligned}\alpha &=\cos .\theta =\cos .\theta '\cos .\theta _{1}+\sin .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1},\\\beta &=\sin .\theta \sin .\omega =\sin .\theta _{1}\sin .\omega _{1}\cos .\omega '+\sin .\theta '\cos .\theta _{1}\sin .\omega '\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\cos .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1}\sin .\omega ',\\\gamma &=\sin .\theta \cos .\omega =\sin .\theta '\cos .\omega _{1}\cos .\omega '-\sin .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1}\cos .\omega '\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\sin .\theta _{1}\sin .\omega _{1}\sin .\omega '.\end{aligned}}$

L’intégrale relative à $\theta$ et $\omega$ s’étend à tous les points de la surface d’une sphère décrite d’un rayon égal à l’unité et dont l’élément différentiel est $\sin .\theta \,d\theta \,d\omega .$ Si l’on y remplace les variables $\theta$ et $\omega$ par $\theta _{1}$ et $\omega _{1},$ cet élément deviendra $\sin .\theta _{1}d\theta _{1}d\omega _{1}\,;$ les limites de l’intégrale seront $\theta _{1}=0$ et $\omega _{1}=0,$ $\theta _{1}=\pi$ et $\omega _{1}=2\pi \,;$ et d’après les valeurs précédentes de $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ on aura d’abord

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\alpha ^{2}\sin .\theta \,d\theta \,d\omega$

$=2\pi \cos .^{2}\theta '\int _{0}^{\pi }\cos .^{2}\theta _{1}\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\sin .\theta _{1}d\theta _{1}$

$+\pi \sin .^{2}\theta '\int _{0}^{\pi }\sin .^{2}\theta _{1}\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\sin .\theta _{1}d\theta _{1},$